高考数学复习点拨 蚂蚁的行程问题.doc

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1、蚂蚁的行程问题　　侧面展开图除了可以帮助我们顺利地求几何体的表面积之外，它还可以帮助我们做什么呢？　　问题1：如图1，长方体的长为12cm，宽为6cm，高为5cm，一只蚂蚁沿侧面从点向点爬行，问：爬到点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？　　探究：我们来分析一下蚂蚁的爬行路线：　　（1）当蚂蚁首先沿正对我们的这个面爬行时，下一步有可能沿上面的面爬行也有可能沿右侧面爬行，为了求得最短路程，我们可以分两种情况展开，如图2，此时，最短路程只可能是连结的线段长．　　于是，由勾股定理得或．经比较知，此时的最短路程为cm；　　（2）当蚂蚁首先沿下底面爬行时，下一步又有两种可能，即沿里

2、面的面或沿右侧面．如图3，得或．比较知，此时最短路程为cm；　　（3）当蚂蚁首先沿左侧面爬行时，下一步依然有两种可能，即沿里面的面或沿上面的面．　　如图4，得或．此时最短路程为cm．　　综合（1），（2），（3），知蚂蚁爬过的最短路程为cm．　　问题2：如图5，圆锥的侧面展开图是半径为cm的半圆，一只蚂蚁沿圆锥侧面从点向点爬行，问：（1）爬到点时，蚂蚁爬过的最短路程；（2）当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点的最近距离．用心爱心专心　　探究：（1）从图5中很难求出蚂蚁爬过的最短路程，我们沿将圆锥侧面展开，得到一个半圆，如图6，此时，是半圆弧的中点，显然，蚂蚁沿弦

3、爬行时，爬行的路程最短．　　由cm，且　，得，即蚂蚁爬过的最短路程为4cm；　　（2）自作于，则即为爬行路程最短时，蚂蚁离圆锥顶点的最近距离，由于是等腰直角三角形斜边上的高，因此，，即蚂蚁离圆锥顶点的最近距离为2cm．　　噢！原来侧面展开图不仅可以帮我们求表面积，还可以帮我们求表面上折线（或曲线）的最小值．用心爱心专心