高二数学斜线与平面三垂线定理教案人教版.doc

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1、斜线与平面三垂线定理一、知识要点：1、斜线在平面内的射影①点在平面的射影，垂线段：②平面的斜线，斜足，斜线段的定义③斜线在平面内的射影，斜线段在平面的射影。2、射影定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的斜线段的射影也相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短。3、直线和平面所成的角，范围为①斜线和平面所成的角：平面的斜线和它在这个平面内的射影所处的锐角。范围为：②若直线和平面垂直，则线面所成的角为直角。③若直线和平面平行或在平

2、面内，则线面所成的角为的角。4、①斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角。②斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中的最小角。5、三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：分别是平面的垂线和斜线，是在平面内的射影，，且求证：；说明：定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系。6、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直注意：⑴

3、三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用7、①如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上②如果经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线二、高考题集αβABA′B′1、（2006年全国卷II）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B

4、′，则AB∶A′B′＝()（A）2∶1（B）3∶1（C）3∶2（D）4∶32、（2006年四川卷）在三棱锥中，三条棱两两互相垂直，且是边的中点，则与平面所成角的大小是_______（用反三角函数表示）3、（2006年重庆理）对于任意直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（　　）.（A）平行　　　（B）相交　　（C）垂直　　　（D）互为异面直线4、（07湖北•理•4题）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：①⊥⊥；②⊥⊥；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合；其中不正确的命题个

5、数是（）A.1B.2C.3D.45、（08四川卷９）设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有：()（Ａ）１条　　（Ｂ）２条　　（Ｃ）３条　　（Ｄ）４条6、已知异面直线a与b所成的角为500，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有（）1条2条3条4条7、如图5，正方体中，点，且，有以下四个结论：①；②；③与面成角；④与是异面直线．其中正确结论的序号是。三、例题讲解：1、如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知：∠BAC在α内，PÏa，PE

6、^AB于E，PF^AC于F且PE=PF，PO^a求证：O在∠BAC的平分线上（即∠BAO=∠CAO）变式：已知：在平面内，点，垂足分别为，且，求证：．推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线2、在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心求证：⑴PH^底面ABC⑵△ABC是锐角三角形.3、点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：．4、在空间四边形PABC中，与点，①若PA，PB，PC两两垂直

7、，求证为的垂心；②若PA=PB=PC，求证为的外心；③若PA，PB，PC和平面所成的角相等，求证为的内心；④若，求证为的垂心；⑤若P到和三角形三边的距离相等，求证为的内心；⑥若面面，面和面所成的角相等，求证为的内心；四、课后作业1、“直线垂直于平面a内的无数条直线”是“⊥a”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件2、如果一条直线与平面a的一条垂线垂直，那么直线与平面a的位置关系是（）（A）Ìa（B）⊥a（C）∥a（D）Ìa或∥a3、下列命题中正确的是()①两条异面直线在同一平面内

8、的射影必相交．②与一条直线成等角的两条直线必平行．③与一条直线都垂直的两直线必平行．④同时平行于一个平面的两直线必平行．（A）①、②；（B）①、③；（C）②、④；（D）以上都不对．4、平面a过△ABC的重心，B、C在a的同侧，A在a的另一侧，若A、B、C到平面a的距离分别为a、b、c，则a、b、c间的关系为()2a=b+c；（B）a=b+c；（C）2a=3(