《三垂线定理》教案

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1、《三垂线定理》教案基本问题：三垂线定理及逆定理内容是什么单元问题：如何运用三垂线定理和逆定理解题内容问题：运用三垂线定理及逆定理有哪些要素课程标准（本单元所针对的课程标准或内容大纲）：三垂线定理及其逆定理是现行立体几何教材中的两个十分重要的定理•前者实际上是平面内一条直线和平面的一条斜线垂直的判定定理，后者实际上是平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直的性质定理•这两个定理的实质是：平面内的一条直线与平面的斜线及其在平面内的射影垂直的关系。一、教学目标：立足学生现状，结合教学大纲，制定以卜•教学目标：1、知识与技能1）熟练掌握三垂线定理及其逆定理的内

2、容，并会证明。2）会运用定理解简单题。3）培养学生的识图能力及空间想彖力，捉高对知识的应用能力。4）通过探索过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想，提高学生的多向思维能力。2、过程与方法口主合作探究，指导法、讲练结合法3^情感态度价值观通过数学严密的逻辑推理教学使学生感受到数学的严谨性，体会数学美。二、教学重难点：重点：熟练常握并区分三垂线定理及其逆定理内容。难点：真正弄清定理中复杂的线线关系。三、教学用具：电脑、大屏幕、实物投影仪四、教学过程：（-）复习提问：我先用电脑结合大屏幕依次提出如下问题：（二）讲授新课1、三垂线定理的证明及简单应用。1

3、）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么,它就和这条斜线垂直。（首先，通过问答法由学生说出命题的已知、求证，然后让学生思考证明过程,接着让学生互说证明过程，最后请一名同学讲出证明过程。）己知：PA.P0分别是平面a的垂线、斜线，40是P0在平而a上的射影。a在平面a内，a±A0oPA丄a=>a丄PO=>a丄平面PAO、POU平面PAO三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。=>PA丄*AO丄a证明:求证：a丄P0aua线面垂直线线垂宜线面垂直线线垂宜性质定浬判定定理性质定理命

4、题正确得出这便是三垂线定理。2）分析定理：①定理屮元素：一而四线三垂直一面——平面a（基础平面）四线——PA（a的垂线），P0（斜线），A0（射影），a（a内的直线）三垂直——PO丄a,AO丄a,PA丄a（故称三垂线定理），由一•垂、二垂得出第三垂，并不是三垂都作为己知条件。②定理屮“直线在平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立（课件屮冇说明）③定理是判定空间两直线（尤其是异面直线）垂直的重要依据④三垂线定理是“线与射影垂直推出线与斜线垂直”即“垂影推出垂斜”。（强化记忆）2、三垂线定理的逆定理1）在平而内的一条直线，如果和这个平而的一条斜线垂直

5、，那么，它也和这条斜线的射影垂直。（学生说出三垂线定理的逆命题，是否正确，由学生课下仿照定理证明过程自行解决）2）冋顾定理与逆定理得出它们是互逆定理3、例题讲解:例1：在正方体AC】中，求证BD］丄AC（春考题）C（用问答法，引导学生说出证明过程，这是一道春考题，提醍学生注意到它的重耍性）例2已知：丹丄平面PEC,PB=PC,胚是BC的中点，P求证：5C1JM证明：IPB=PC、■M是EC•的中点」=>PM丄EC•••血丄平面PBC・・・PM是AM在平面PEC上的射影丿2、解题回顾：①定平面（基础平面）②找四线（垂线、斜线、射影和平面内一条直线）③

6、证明（三）课堂练习：练习1已知：长方体AC】中,BDi为体对角线，当底面ABCD满足条件时，有BDi丄AiCi答：当对角线互相垂直时，结论成立如图，PA垂直于以AB为直径的圆0平面，C为—————-•-——-•-——————-•-——-e-————-•-——-•-——-e-—圆0上任一点（异于A,B）,试判断图中共有几个直角三角形，并说明理由。B（四）课堂小结1•定理中元素：一面四线三垂直2.定理中“直线在平面内”这个条件不能省略，他是定理成立的必要条件3.定理是判定空间两直线（尤其是异面直线）垂直的重要依据4.线影垂直二：线斜垂直解题的关键：三垂

7、直一直线和平面垂直二平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条宜线垂直三平面的斜线和平面内的一条直线垂直由一垂、二垂直接得岀三垂（五）布置作业1）必做课木P167第6题，以便巩固木节内容。2）选做题：在四面体ABCD中，已知AB丄CD,AC丄BD,求证：AD1BC（冇余力的同学做）（六）板书设计三垂线定理及其逆定理一、三垂线定理学生练习二、三垂线定理的逆定理三、例1,例2