算法大全第15章_常微分方程的解法.pdf

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1、第十五章常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的dy22方程如=y+x，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十dx分重要的手段。§1常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是⎧dy⎪=f(x,y)a≤x≤b⎨dx(1)⎪y(a)=y⎩0在下面的讨论中，

2、我们总假定函数f(x,y)连续，且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L，使得

3、f(x,y)−f(x,y)

4、≤L

5、y−y

6、这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。所谓数值解法，就是求问题（1）的解y(x)在若干点a=x

7、n若用向前差商代替y'(x)代入（1）中的微分方程，则得nhy(x)−y(x)n+1n≈f(x,y(x))(n=0,1,L)nnh化简得y(x)≈y(x)+hf(x,y(x))n+1nnn如果用y(x)的近似值y代入上式右端，所得结果作为y(x)的近似值，记为y，nnn+1n+1则有y=y+hf(x,y)(n=0,1,L)（2）n+1nnn这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题⎧yn+1=yn+hf(xn,yn)(n=0,1,L)⎨（3）y=y(a)⎩0得到，按式（3）由初值y可逐次算出y,y,L。式（3）是个离散化的问题，称为差012分方程初值问题。-179

8、-需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。（ii）用数值积分方法将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端积分，得xn+1y(x)−y(x)=f(x,y(x))dx(n=0,1,L)(4)n+1n∫xn右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。（iii）Taylor多项式近似将函数y(x)在x处展开，取一次Taylor多项式近似，则得ny(x)≈y(x)+hy'(x)=y(x)+hf(x,y(x))n+1nnnnn再将y(x)的近似值y代入上式右端，所得结果作为y(x)的近似值y，得到离nnn+1n+1散化的计算公式y=y

9、+hf(x,y)n+1nnn以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的计算公式。其中的Taylor展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断误差。§2欧拉（Euler）方法2.1Euler方法Euler方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解，即由公式（3）依次算出y(x)的近似值y(n=1,2,L)。这组公式求问题（1）的数值nn解称为向前Euler公式。y(x)−y(x)n+1n如果在微分方程离散化时，用向后差商代替导数，即y'(x)≈，n+1h则得计算公式⎧yn+1=yn+hf(xn+1,y

10、n+1)(n=0,1,L)⎨（5）y=y(a)⎩0用这组公式求问题（1）的数值解称为向后Euler公式。向后Euler法与Euler法形式上相似，但实际计算时却复杂得多。向前Euler公式是显式的，可直接求解。向后Euler公式的右端含有y，因此是隐式公式，一般要用n+1迭代法求解，迭代公式通常为(0)⎧⎪yn+1=yn+hf(xn,yn)⎨（6）(k+1)(k)⎪⎩y=y+hf(x,y)(k=0,1,2,L)n+1nn+1n+12.2Euler方法的误差估计对于向前Euler公式（3）我们看到，当n=1,2,L时公式右端的y都是近似的，n所以用它计算的y会有累积

11、误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的n+1所谓局部截断误差。假定用（3）式时右端的y没有误差，即y=y(x)，那么由此算出nnny=y(x)+hf(x,y(x))（7）n+1nnn-180-局部截断误差指的是，按（7）式计算由x到x这一步的计算值y与精确值y(x)nn+1n+1n+1之差y(x)−y。为了估计它，由Taylor展开得到的精确值y(x)是n+1n+1n+12h3y(x)=y(x)+hy'(x)+y''(x)+O(h)（8）n+1nnn2（7）、（8）两式相减（注意到y'=f(x,y)）得2h32y(x)−y=y''(x)+O(h)≈O(h

12、)（9）n