对称最小二乘法直线拟合的不确定度.pdf

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1、第３５卷第５期昭通学院学报２０１３年１０月Ｖｏｌ．３５Ｎｏ．５ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＯｃｔ．２０１３●物理学研究对称最小二乘法直线拟合的不确定度党兴菊，孙骏，吴文良（昭通学院物理与电子信息工程学院，云南昭通６５７０００）摘要：在已有文献的基础上，讨论一般情形下对称最小二乘法直线拟合的不确定度评定，给出对称最小二乘法拟合直线斜率和截距的不确定度，并给出了一些实例．关键词：直线拟合；线性回归；最小二乘法；不确定度中图分类号：Ｏ２１２．６文献标志码：Ａ文章编号：（２０１３）０

2、５－００２１－０５文献［１］提出了“逆最小二乘法”的概念，给出逆最小二乘法拟合直线斜率、截距及其不确定度的计算公式，指出：“从本质上说，逆最小二乘法并不是一种新的拟合方法，它只是互换两组相关实验数据后的最小二乘法……寻求一种本质上来说有别于最小二乘法的新的拟合方法，则是我们目前努力的方向．”文献［２］提出了“对称最小二乘法”的概念，给出了对称最小二乘法在过原点直线拟合的情形下斜率及其不确定度的计算公式．文献［３］进一步给出了一般情形下对称最小二乘法拟合直线斜率和截距的计算公式．本文讨论这种方法拟合直线

3、斜率和截距不确定度的评定．对称最小二乘法，是指使实验数据点到拟合直线的距离的平方和最小的直线拟合法，这种方法对于需要拟合的两组数据Ｘ和Ｙ是对称的．由于通常两组数据的量纲是不同的，为了在直线拟合中使横纵坐标所表示的量的量纲相同，取Ｘ的单位ｘ０和Ｙ的单位ｙ０，作变换Ｘ′＝Ｘ／ｘ０；Ｙ′＝Ｙ／ｙ０，于是ｘ′ｉ和ｙ′ｉ的量纲同为１．设Ｘ′和Ｙ′的拟合直线方程为ｙ′＝ｂ′ｘ′，则可知Ｘ和Ｙ的拟合直线方程ｙ＝ｂｘ中的斜率ｂ＝ｂ′ｙ０／ｘ０，文［２］给出过原点对称最小二乘法拟合直线的斜率及其不确定度的计算公式为：（

4、２２）＋（２２）２２∑ｙ′ｉ－∑ｘ′ｉ槡∑ｙ′ｉ－∑ｘ′ｉ＋４（∑ｘ′ｉｙ′ｉ）（１）ｂ′＝２∑ｘ′ｉｙ′ｉ１１１ｕ（ｂ′）＝｜ｂ′｜·＊２－（２）槡ｎ－１（ｒ槡１－４（１－ｒ＊２）／（／）２）β＋１β２式中ｒ＊∑ｘ′ｉｙ′ｉ，∑ｙ′ｉ，从而可得ｂ＝ｂ′·ｙ０，ｕ（ｂ）＝ｙ０·ｕ（ｂ′）．＝β＝２２ｘ′ｉ２ｘ０ｘ０槡∑ｙ′ｉ∑ｘ′ｉ槡∑文献［３］给出一般情形下对称最小二乘法拟合直线斜率和截距的计算公式为：（Ｓ２２ｂ′＝ｙｙ－Ｓｘｘ）＋槡（Ｓｙｙ－Ｓｘｘ）＋４Ｓｘｙ，ａ′＝ｙ′－ｂ′ｘ′．（３）２Ｓｘｙ

5、其中Ｓ（ｘ′）２，Ｓ（ｙ′）２，Ｓ（ｘ′）（ｙ′）．ｘｘ＝∑ｉ－ｘ′ｙｙ＝∑ｉ－ｙ′ｘｙ＝∑ｉ－ｘ′ｉ－ｙ′下面讨论（３）式中ｂ′和ａ′的不确定度．１实验数据Ａ类不确定度的估计设α＝Ｓｙｙ－Ｓｘｘ，则（３）式可改写为ｂ′＝α±槡α２＋１．于是一般情形下对称最小二乘法拟合直线２Ｓｘｙ收稿日期：２０１３－０８－３０基金项目：云南省教育厅科学研究基金项目（２０１１Ｃ０３７）．作者简介：党兴菊（１９６７—），女，云南昭通人，副教授，主要从事物理教学及研究．·２１·第３５卷昭通学院学报２０１３年（总第１５０期）

6、残差平方和为：Ｑ＝１（ｙ′）２＝１（ｙ′）－ｂ′（ｘ′）２＝２∑ｉ－ｂ′ｘ′ｉ－ａ′２∑〔ｉ－ｙ′ｉ－ｘ′〕１＋ｂ′１＋ｂ′１（ｂ′２Ｓｘｘ－２ｂ′ＳｘＳ）＝１〔ｂ′２（Ｓ２αＳｘ）－２ｂ′Ｓ〕＝２ｙ＋ｙｙ２ｙｙ－ｙｘｙ＋Ｓｙｙ１＋ｂ′１＋ｂ′１〔（１＋ｂ′２）Ｓ２ｂ′（αｂ′＋１）Ｓｘ〕＝Ｓ２ｂ′（αｂ′＋１）Ｓｘ２ｙｙ－ｙｙｙ－２ｙ＝１＋ｂ′１＋ｂ′２２２ｂ′（α±αα槡＋１＋１）Ｓｙｙ－Ｓｘｙ＝Ｓｙｙ－ｂ′Ｓｘｙ．２２２１＋α±２αα槡＋１＋α＋１Ｑ来源于诸ｘ′ｉ和ｙ′ｉ的不确定度．假设诸ｘ′ｉ

7、的Ａ类不确定度ｕ（ｘ′ｉ）相等，诸ｙ′ｉ的Ａ类不确定度ｕ（ｙ′ｉ）也相等，忽略ｘ′ｉ和ｙ′ｉ的Ｂ类不确定度并且假定ｕ（ｘ′ｉ）＝｜ｂ′｜ｕ（ｙ′ｉ），于是有ｕ（ｙ′ｉ）＝Ｑ＝Ｓｙｙ－ｂ′Ｓｘｙ（４）槡（ｎ－２）（１＋ｂ′２）槡（ｎ－２）（１＋ｂ′２）式中ｎ－２为自由度．２斜率ｂ′的Ａ类不确定度ＳｘｘＳｘｘＳｙｙＳｙｙＳｘｙＳｘｙ因＝２（ｘｉ－ｘ′），＝＝０，＝２（ｙｉ－ｙ′），＝（ｙｉ－ｙ′），＝（ｘｉ－ｘ′），ｘ′ｉｙ′ｉｘ′ｉｘ′ｉｘ′ｉｙ′ｉα２（ｘ′ｉ－ｘ′）Ｓｘｙ＋

8、（ｙ′ｉ－ｙ′）（Ｓｙｙ－Ｓｘｘ）１〔（ｘ′）＋（ｙ′）α〕，＝－２＝－ｉ－ｘ′ｉ－ｙ′ｘ′ｉ２ＳｘｙＳｘｙα２（ｙ′ｉ－ｙ′）Ｓｘｙ－（ｘ′ｉ－ｘ′）（Ｓｙｙ－Ｓｘｘ）１〔（ｙ′）－（ｘ′）α〕．＝２＝ｉ－ｙ′ｉ－ｘ′ｙ′ｉ２ＳｘｙＳｘｙｕ（α）＝〔αｕ（ｘ′２〔α２∑ｉ）〕＋∑ｕ（ｙ′ｉ）〕＝槡ｘ′ｉｙ′ｉ２〔（ｙ′）－（ｘ′）α〕ｕ（ｙ′）２－〔（ｘ′ｉ－ｘ′）ｉ＋（ｙ′ｉ－ｙ′）α〕｜ｂ′｜ｕ（ｙ′ｉ）ｉ－ｙ′ｉ－ｘ′ｉ∑Ｓ＋∑＝槡