最小二乘法分段直线拟合_田垅

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1、第３９卷第６Ａ期计算机科学Ｖｏｌ．３９Ｎｏ．６Ａ２０１２年６月ＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅＪｕｎｅ２０１２最小二乘法分段直线拟合田垅刘宗田（上海大学计算机工程与科学学院上海２０００７２）摘要曲线拟合是图像分析中非常重要的描述符号。最常用的曲线拟合方法是最小二乘法，然而一般的最小二乘法有一定的局限性，已经有不少学者对其进行了一些改进。进一步对最小二乘法进行改进，提出一种新的分段直线拟合算法来代替多项式曲线拟合，以达到简化数学模型的建立和减少计算的目的，使其能够更好地对点序列进行拟合。关键词直线拟合，最小

2、二乘法，分段中图法分类号ＴＰ３０１文献标识码ＡＬｅａｓｔ－ｓｑｕａｒｅｓＭｅｔｈｏｄＰｉｅｃｅｗｉｓｅＬｉｎｅａｒＦｉｔｔｉｎｇＴＩＡＮＬｏｎｇＬＩＵＺｏｎｇ－ｔｉａｎ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ＆Ｓｃｉｅｎｃｅ，ＳｈａｎｇｈａｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０００７２，Ｃｈｉｎａ）ＡｂｓｔｒａｃｔＣｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇｉｓａｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒｉｎｉｍａｇｅａｎａｌｙｓｉｓ，ｔｈｅｍｏｓｔｃｏｍｍｏｎｌｙｕｓｅｄｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇ

3、ｍｅｔｈｏｄｉｓｌｅａｓｔ－ｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄ．Ｂｕｔｏｒｄｉｎａｒｙｌｅａｓｔ－ｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄｈａｓｓｏｍｅｌｉｍｉｔａｔｉｏｎｓ，ａｎｄｔｈｅｒｅａｒｅｍａｎｙｓｃｈｏｌａｒｓｈａｖｅｍａｄｅｓｔｕｄｙｏｆｉｍｐｒｏｖｉｎｇｉｔ．Ｔｈｅａｕｔｈｏｒｓｍａｄｅｆｕｒｔｈｅｒｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｏｎｌｅａｓｔ－ｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄａｎｄｐｒｏｐｏｓｅｄａｎｅｗｐｉｅｃｅｗｉｓｅｌｉｎｅａｒｆｉｔｔｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｎｓｔｅａｄｏｆｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｃｕｒｖｅｆｉｔｔ

4、ｉｎｇ．Ｔｈｅｎｅｗａｌｇｏｒｉｔｈｍａｃｈｉｅｖｅｓｔｈｅｇｏａｌｏｆｓｉｍｐｌｉｆｙｉｎｇｔｈｅｍａｔｈ－ｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ，ｒｅｄｕｃｉｎｇｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，ａｎｄｍａｋｅｓｉｔｂｅｔｔｅｒｔｏｆｉｔｐｏｉｎｔｓｅｑｕｅｎｃｅ．ＫｅｙｗｏｒｄｓＬｉｎｅａｒｆｉｔｔｉｎｇ，Ｌｅａｓｔ－ｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄ，Ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ往往是有序数对，根据误差平方和最小化原则，找出这些数据１引言的最佳函数匹配。在工程技术和科学实验中，常常得到两个有函数关系观最小二乘法的数学原理为：给定

5、一组数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，测量的一系列有序对。如何根据这些有序对来确定它们的函２，…，ｎ），设其经验方程为Ｆ（ｘ），方程中含有一些待定系数数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。曲线拟合ａｎ。将（ｘｉ，ｙｉ）代入方程求差ｙｉ－Ｆ（ｘｉ），为了考虑整体的误的应用十分广泛，如在计量经济学领域中可以利用历年的经差，可以取平方和，之所以要平方是考虑到误差正负直接相加［１］，在医学统计可以相互抵消，所以记误差为：济统计数据来预测下一阶段的经济发展趋势学领域中可以通过发现某种毒物剂量与动物死亡率之间的定ｅ

6、＝∑（ｙ∧ｉ－Ｆ（ｘｉ））２量关系来指导医学工作，在传感技术领域可以用于多传感器通过求ｅ的极小值可以求出ａｎ，从而求出该组数据的最［２］。常用的曲线拟合方法是最小二乘法。最小二乘佳拟合函数，该函数使得误差平方和最小。测量标定法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，它通过最小化误最小二乘法不仅可以用于曲线拟合，也可以用于直线拟差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以合。如果经验方程Ｆ（ｘ）是线性的，形如ｙ＝ａ＊ｘ＋ｂ，那么利简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据用最小二乘法得到的

7、就是线性回归。［５］之间误差的平方和最小。在利用最小二乘法实现曲线拟合张东林对最小二乘法进行了改进，即将ｎ个有序对时，虽然能够很好地拟合有序对，并且有很好的数学理论支（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，…，ｎ）分成ｋ组Ｎ１，Ｎ２，…，Ｎｋ：［４］（ｘ，ｙ），（ｘ，ｙ），…，（ｘ，ｙ）持和很高的精确度，但是需要进行大量复杂的计算，而且得１１１１１２１２１Ｎ１１Ｎ１到的拟合函数往往是高次的，这进一步增加了复杂性。为了（ｘ２１，ｙ２１），（ｘ２２，ｙ２２），…，（ｘ２Ｎ２，ｙ２Ｎ２）简化建立数学模型的算法，减少计算量

8、，本文提出了一种新的…利用最小二乘法实现分段直线拟合的方法，以对观测到的有（ｘｋ１，ｙｋ１），（ｘｋ２，ｙｋ２），…，（ｘｋＮｋ，ｙｋＮｋ）序对进行建模。然后对每组有序对进行线性拟合，得到ｋ条拟合直线ｙ＝ｇｉ（ｘ）＝ａｉ＊ｘ＋ｂ（ｉ＝１，２，…，ｋ）。张东林的这种算法虽然２最小二乘法研究现状能够实现分段直线拟合，并且进一步可以实现曲线拟合，但是最小二乘法的基本思想是：给定一组实验数据，这些数据其并没有给出ｋ和Ｎｉ（ｉ＝１，２，…，ｋ）的取值