最小二乘法拟合

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1、Ⅱ基本概念与数据处理–35–4.最小二乘法线性拟合我们知道，用作图法求出直线的斜率a和截据b，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a和b误差较大。用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a和截据b是唯一的。最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a和b。显然，关键是如何求出最佳的a和b。(1)求回归直线设直线方程的表达式为：(2-

2、6-1)要根据测量数据求出最佳的a和b。对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi，yi），假定自变量xi的误差可以忽略，则在同一xi下，测量点yi和直线上的点a+bxi的偏差di如下：显然最好测量点都在直线上（即d1=d2=……=dn=0），求出的a和b是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d1、d2、……、dn为最小，也就是考虑d1+d2+……+dn为最小，但因d1、d2、……、dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而

3、d1

4、+

5、d2

6、+……+

7、dn

8、又不好解方程，因而不可行。现在采取一种等效方法：当d12+d22+……+dn2对a和b为最小时，

9、d1、d2、……、dn也为最小。取（d12+d22+……+dn2）为最小值，求a和b的方法叫最小二乘法。令＝(2-6-2)D对a和b分别求一阶偏导数为：Ⅱ基本概念与数据处理–35–再求二阶偏导数为：；显然：；满足最小值条件，令一阶偏导数为零：(2-6-3)(2-6-4)引入平均值：；；；则：（2-6-5）解得：（2-6-6）（2-6-7）将a、b值带入线性方程，即得到回归直线方程。(2)y、a、b的标准差在最小二乘法中，假定自变量误差可以忽略不计，是为了方便推导回归方程。操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。实际上两者均是变量，都有误差，从而导致结果y、a

10、、b的标准差(n≥6)如下：Ⅱ基本概念与数据处理–35–(2-6-8)(根式的分母为n-2,是因为有两个变量)(2-6-9)(2-6-10)(3)相关系数相关系数是衡量一组测量数据xi、yi线性相关程度的参量，其定义为：（2-6-11）r值在0<

11、r

12、≤1中。

13、r

14、越接近于1，x、y之间线性好；r为正，直线斜率为正，称为正相关；r为负，直线斜率为负，称为负相关。

15、r

16、接近于0，则测量数据点分散或xi、yi之间为非线性。不论测量数据好坏都能求出a和b，所以我们必须有一种判断测量数据好坏的方法，用来判断什么样的测量数据不宜拟合，判断的方法是

17、r

18、

19、．r称为相关系数的起码值，与测量次数n有关，如下表2-６-2表2-6-2相关系数起码值rnrnrnr31.00090.798150.64140.990100.765160.62350.959110.735170.60660.917120.708180.59070.874130.684190.57580.834140.661200.561在进行一元线性回归之前应先求出r值，再与r比较，若

20、r

21、>r，则x和y具有线性关系，可求回归直线；否则反之。Ⅱ基本概念与数据处理–35–例9：灵敏电流计的电流常数Ki和内阻Rg的测量公式为测得的数据同例7，其中间处理过程如下，试用最小二

22、乘法求出Ki和Rg，并写出回归方程的表达式。解：测量公式与线性方程表达式y＝a+bx比较：数据处理如表2-6-3：表2-6-3Rs＝0.100ΩR1＝4350.0Ωd＝40.0mmi12345678平均值R2(Ω)400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0225.0U(V)2.822.492.151.821.511.180.840.561.67125(104Ω2)16.0012.259.0006.2504.0002.2501.0000.2506.375U2(V2)7.956.204.623.312.281.390.710.313.3

23、4625R2U(102ΩV)11.38.726.454.553.021.770.840.284.615625中间过程可多取位：＝1.67125＝225.0＝3.34625＝6.375×104＝461.5625相关系数查表得知，当n=8时，r0=0.834，两者比较r>r0，说明x、y(即U、R2)之间线性相关，可以求回归直线。求回归方程的系数＝154.6192304＝-33.4代换＝33.4ΩⅡ基本概念与数据处理–35–＝154.6192304Ki＝＝3.7170×10-9A/mm计算标准差为：＝2.64561902；＝2.300545589；＝1.