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1、第十章导数及其应用§10.1导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率：设函数y=f(x)在x附近有定义，当自变量在x=x附近改变量为Dx时，00函数值相应地改变Dy=f(x+Dx)-f(x)，如果当Dx趋近于0时，平均变化率0Dyf(x0+Dx)-f(x0)=趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝DxDx对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数f(x)在点x的瞬时变化率。0f(x+Dx)-f(x)002.导数：当Dx趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“®”记作：Dxf(x+Dx)-f(x)f(x+Dx)-f(x)00
2、00当Dx®0时，®c或记作lim=c，符号“®”DxDx®0Dx读作“趋近于”。函数在x的瞬时变化率，通常称作f(x)在x=x处的导数，并记作f¢(x)。0003.导函数：如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a,b)可导。这样，对开区间(a,b)内每个值x，都对应一个确定的导数f¢(x)。于是，在区间(a,b)内，f¢(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数。记为f¢(x)或y¢（或y¢）。x4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x
3、)±g(x))¢=f¢(x)±g¢(x)即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。2）函数积的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)g(x)]¢=f¢(x)g(x)+f(x)g¢(x)即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，g(x)¹0，则¢éf(x)ùg(x)f¢(x)-f(x)g¢(x)êg(x)ú=g2(x)ëû5.复合函数的导数:设函数u=y(x)在点x处有导数u¢=y¢(x),函数y=f(u)在
4、点x的x对应点u处有导数y¢=f¢(u),则复合函数y=f[y(x)]在点x处有导数,且y¢=y¢×u¢.uxux6.几种常见函数的导数：nn-1(1)C¢=0(C为常数)(2)（x）¢=nx(nÎQ)(3)(sinx)¢=cosx(4)(cosx)¢=-sinx11(5)(lnx)¢=(6)(logx)¢=logeaaxxxxxx(7)(e)¢=e(8)(a)¢=alna二、疑难知识导析1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则y¢=y¢×u¢,应注意以下几点xux（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量
5、的函数,层层求导.(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如(cos2x)¢=-sin2x实际上应是-2sin2x。(3)求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如114y=选成y=，u=v,v=1-w,w=3x计算起来就复杂了。4(1-3x)u3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。4.f¢(x)与f¢(x)的关系0f¢(x
6、)表示f(x)在x=x处的导数，即f¢(x)是函数在某一点的导数；f¢(x)表示000函数f(x)在某给定区间(a,b)内的导函数，此时f¢(x)是在(a,b)上x的函数，即f¢(x)是在(a,b)内任一点的导数。5.导数与连续的关系若函数y=f(x)在x处可导，则此函数在点x处连续，但逆命题不成立，即函数00y=f(x)在点x处连续，未必在x点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条00件，而不是充分条件。6.可以利用导数求曲线的切线方程由于函数y=f(x)在x=x处的导数，表示曲线在点P(x,f(x))处切线的斜率，因000此，曲线y=f
7、(x)在点P(x,f(x))处的切线方程可如下求得：00（1）求出函数y=f(x)在点x=x处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处000切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：y=y+f¢(x)(x-x)，000如果曲线y=f(x)在点P(x,f(x))的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定00义可知，切线方程为x=x.0三、经典例题导讲2[例1]已知y=(1+cos2x),则y¢=.错因：复合函数求导数计算不熟练,其2x与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:y¢=-2sin
8、2x(1+cos2x).2正解：设y=u,u=1+cos2x,则y¢x=yu¢u¢x=2u(1+cos2x)¢=2u×(-
