高斯曲率绝妙定理的表示公式的几种形式.pdf

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1、第47卷第4期郑州大学学报(理学版)Vol.47No.42015年12月J．ZhengzhouUniv．(Nat．Sci．Ed．)Dec.2015高斯曲率绝妙定理的表示公式的几种形式122邢家省，高建全，罗秀华(1．北京航空航天大学数学与系统科学学院数学信息与行为教育部重点实验室北京100191;2．平顶山教育学院数学系河南平顶山467000)摘要:考虑高斯曲率绝妙定理的公式表示问题．运用曲面论基本方程的矩阵表示法，直接推导出了高斯曲率绝妙定理的隐式表示公式和显式表示公式，指出了高斯曲率内蕴隐式公式的验证过程，给出了高斯曲率内蕴计算公式的Liouville形式

2、的推导过程．关键词:曲面论基本方程;矩阵表示法;高斯曲率;内蕴量;高斯绝妙定理;高斯曲率的Liouville记忆形式中图分类号:O186．1文献标志码:A文章编号:1671－6841(2015)04－0017－07DOI:10．3969/j．issn．1671－6841．2015．04．0040引言［1－7］曲面上的高斯曲率是曲面上的内蕴量，这个重要结果是高斯于1827年发现的著名定理，称为高斯［2，6］绝妙定理或曲面论的高斯方程．由于现有文献中给出的推导过程相当繁杂，导致人们难以弄清楚其本［8－10］质．人们一直在追求高斯曲率内蕴量的具体表达式．我们发现采用

3、曲面论基本方程的矩阵表示法，运用［11－12］矩阵运算就可以很简明地推导出高斯曲率绝妙定理的隐式表示公式和最终显式表达公式．对高斯曲率［5］计算公式的Liouville记忆形式亦给出了推导过程．这里给出的新的处理方法，有利于人们理解和掌握，从而推进人们的认识．1曲面论的基本方程的矩阵方程表形式3→→设C类的正则曲面∑:r=r(u1，u2)，(u1，u2)∈Δ．按照文献［1－6，9－10］中的符号体系，给出如下一系列记号，→gg→→r→→1112ri=rui=，gij=ri·rj，gij=gji，i，j=1，2，g11g22－g12g21=g，A=(gij)=

4、()，uig21g22gg－1g－g1112－1111212221ggij令A=()=g()=(2122)=(g)是A=(gij)的逆矩阵;g21g22－g12g11gg→r×→r→r×→r→2→→1212→→n→→rn=→→=，ni=nui=，rij=ruiuj=，‖r1×r2‖槡guiujui→→→→b11b12bij=n·rij=－nj·ri，i，j=1，2，bij=bji，B=(bij)=()．b21b22［1－6，8－10］曲面论基本方程的矩阵形式为:→12→→→12→→ær1öæΓ11Γ11öær1öæb11nöær1öæΓ12Γ1

5、2öær1öæb12nöuçç→÷÷=ç12÷çç→÷÷+çç→÷÷，uçç→÷÷=ç12÷çç→÷÷+çç→÷÷，(1)1èr2øèΓ21Γ21øèr2øèb21nø2èr2øèΓ22Γ22øèr2øèb22nø收稿日期:2015-05-16基金资助:国家自然科学基金资助项目，编号61271010;北京航空航天大学校级重大教改项目，编号201501．作者简介:邢家省(1964—)，男，河南泌阳人，博士，副教授，主要从事偏微分方程、微分几何研究，E-mail:xjsh@huaa．edu．cn．引用本文:邢家省，高建全，罗秀华．高斯曲率绝妙定理的表示公式的几

6、种形式［J］．郑州大学学报:理学版，2015，47(4):17－23．18郑州大学学报(理学版)第47卷→12→æn1öæb1b1öær1öçç→÷÷=－ç12÷çç→÷÷，(2)èn2øèb2b2øèr2ø其中:1212æΓ1jΓ1jöΓ11jΓ21jæb1b1öb11b21－1－1－1ç12÷=()A，ç12÷=()A=BA，èΓ2jΓ2jøΓ12jΓ22jèb2b2øb12b222→→1gilgjlgijkklkkΓlij=rl·rij=(+－)，Γlij=Γlji，Γij=∑gΓlij，Γij=Γji，i，j，k=1，2．2ujuiull=

7、12曲面论的基本方程中系数矩阵满足的方程→→对向量ri，n运用二阶连续偏导数可交换次序的法则，方程组(1)和方程组(2)可解的充要条件是→→ær1öær1ö→→2ç÷2ç÷ær11öær12ö→→→→uuçr2÷=uuçr2÷．由此，须有uçç→÷÷=uçç→÷÷，un1=un2．21ç÷12ç÷2èr21ø1èr22ø21→→ènøènø利用式(1)，得12→→12→→æΓ11Γ11öær1öæb11nöæΓ12Γ12öær1öæb12nöu［ç12÷çç→÷÷+çç→÷÷］=u［ç12÷çç→÷÷+çç→÷÷］．(3)2

8、èΓ21Γ21øèr2øèb21nø1