桥梁电算-2.-矩阵位移法.ppt

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1、鲁乃唯博士/讲师长沙理工大学土木工程学院2018年10月桥梁结构电算有限元数值模拟及在桥梁工程中的应用第二章：杆系结构的矩阵位移法课程回顾《桥梁电算》课程简介什么是有限元有限元软件的发展桥梁结构分析的类型有限元分析过程模型纠错第一章绪论长理-土木工程学科课时安排、考试安排学习目的有限元的重要性第二章杆系结构矩阵位移法概述一维杆单元(拉压杆件)二维杆单元(受弯杆件)二维杆单元(平面杆件)第二章杆系结构的矩阵位移法(1)一、杆系结构*杆件：从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结构力学上，将承受轴力或扭矩的杆件称

2、为杆；而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。为方便起见，本课程都称之为杆系结构。二、矩阵位移法概述*定义矩阵位移法是以结构力学原理为基础，以结点位移为基本未知量，借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。节点、单元二、矩阵位移法概述*结构离散化二、矩阵位移法概述*总体坐标系与单元局部坐标系二、矩阵位移法概述力法与位移法力法需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具体情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出的结果就是力。位移法

3、是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强，目前广为采用。结构结点力杆件杆端力杆件端点位移结构结点位移位移法力法位移法与力法之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同二、矩阵位移法概述*基本思路原理：线弹性、小变形、叠加原理化整为零（单元分析）集零为整（结点力平衡、位移协调）二、矩阵位移法概述*12----单元编码1,2,3----结构结点编码（总码）----杆端结点编码（局码）(1,2,3)----结点位移编码FP单元结点单元方向121(1,2)2(3,4)3(5,6)FP二、矩阵位移法概述*编号规则：

4、从下至上，从左至右二、矩阵位移法概述*第一步，对结构物进行离散化，划分为有限个单元。第二步，对各结点和单元进行编码。第三步，建立整体坐标系和各单元的局部坐标系。第四步，对已知参数进行准备和整理。第五步，对结点位移进行编码，注意前处理法与后处理法的区别。第六步，进行单元分析，形成单元刚度矩阵。第七步，进行整体分析，形成整体刚度矩阵。第八步，引入边界条件。边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性。第九步，求解方程组，计算结构的整体结点位移。第十步，求单元内力，对计算成果进行整理、分析，用表格、图示出所需的位移及应力。步骤三、

5、一维杆单元*位移法拉压杆单元图2.4拉压杆单元示意图设杆单元长度为，横截面面积为，单元材料的弹性模量为，在局部坐标系中杆端荷载分别为和，杆端位移分别为和，单元上的轴向分布荷载为。三、一维杆单元①单元位移模式。用结点位移表示单元上任意截面的位移。对拉压杆单元，可以取其位移为一次多项式，即：由位移的边界条件：可得系数、为：这样，任意截面的位移为：用矩阵表示为：其中（2-1）（2-2）三、一维杆单元②进行应力、应变分析。根据材料力学中应变的定义，有：这里为应变矩阵。由虎克定律，其应力为：（2-4）（2-3）三、一维杆单元③求

6、单元刚度矩阵。这里考虑利用虚位移原理求单元刚度矩阵，设杆端i、j分别产生虚位移、，则由此引起的杆轴任意截面的虚位移为：对应的虚应变为：根据虚位移原理虚功方程，有：将上式整理得：（2-5）（2-6）三、一维杆单元式中：为局部坐标系下单元结点荷载矩阵。设：则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为：这里为局部坐标系下的单元刚度矩阵，为局部坐标系下等效结点荷载矩阵，但值得指出的是：分布荷载中可以包含集中荷载。根据定义，可以进一步求得单元刚度矩阵为：（2-10）（2-7）（2-8）（2-9）三、一维杆单元扭转杆单元图2.4扭转杆单元

7、示意图设扭转杆单元的长度为，截面惯性矩为，剪切模量为，杆端扭矩分别为、，杆端扭转角分别为、，单元上的分布荷载集度为，则任意截面的扭转角为：三、一维杆单元式中：为局部坐标系下扭转杆单元的结点位移矩阵。由材料力学可知，截面扭矩为：式中：我们利用极小势能原理来进行单元分析，杆单元的势能用泛函表示为：三、一维杆单元这里为局部坐标系下扭转杆单元的结点荷载矩阵。由极小势能原理，取上述泛函的变分，可得：或者写为：设：可得扭转杆单元的单元刚度方程为：可以看到，其形式与拉压杆单元的单元刚度方程完全一致。同样，由上式可以进一步求得其局部坐

8、标系下得单元刚度矩阵为：三、一维杆单元四、二维杆单元(受弯杆单元)四、二维杆单元(受弯杆单元)-+结构力学-位移法四、二维杆单元(受弯杆单元)四、二维杆单元(受弯杆单元)设杆单元的长度为，截面惯性矩为，弹性模量为，杆端剪力为、，杆端弯矩分别为、，杆端横向位移为、，杆端扭转角分别为、，在单元上分布有荷载集度为的竖向分布荷载和集度为的