全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答.doc

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1、2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）1．复数．2．已知直线是圆的一条对称轴，则实数.3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是（结果用最简分数表示）．4．已知，则．5．已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为．6．设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前n项和等于．7．设函数．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围

2、是．8．设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中，则．9．一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是．10．已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是．6/6二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围．12．设．若时，，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值．13．如图，P是内一点．（1）若P是的内心，证明：；（2）若且，证明：P是的内心．ABCP14．已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数．证明：存在

3、无穷多个正整数n，使得为有理数．6/62011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题答案及点评一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）1．复数．答案：－8基础题，送分题，高考难度2．已知直线是圆的一条对称轴，则实数.答案：基础题，送分题，高考难度3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是（结果用最简分数表示）．答案：基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错4．已知，则．答案：计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度5．已知向

4、量a，b满足，则以向量与表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为．答案：可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案6．设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前n项和等于．答案：高考难度级别，基础好的同学可以做出来7．设函数．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是．答案：(0,2)这是一道高考题8．设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中，6/6则．答案：6这也是一道高考题9．一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此

5、直角三角形的斜边长是．答案：4还是一道高考题10．已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是．答案：3,14,30这是2011年苏州市一模的第十四题。二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围．解：设公共点（cosθ，sinθ），代入抛物线方程，得因为，所以简单，很简单12．设．若时，，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值．解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得，故有，从而且．若有实根，则，在区间有即消去c，解出即，这时，且．

6、若无实根，则，将代入解得．综上．所以，单调递减6/6故．注重分类讨论13．如图，P是内一点．（1）若P是的内心，证明：；（2）若且，证明：P是的内心．ABCP证明：（1）这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的平面几何的参考书上都有14．已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数．证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数．证明：设，其中p，q为互质的正整数，则．设k为任意的正整数，构造，则．非常非常常规的一道数论题，不需要数论的预备知识6/6总结：这张试卷大约90分以上应该可以出线了。一般说来，出线并不算太难，只要平时基础好，

7、不粗心，填空题应该可以做满分（笔者错了一个），对于没有进行过竞赛辅导的同学来说，大题的1、2两题还是可以做做的。尤其提醒一点，大题目不管会不会做，一定要写写，写写总是有份的，而且分很多。比如最后一题，只要把他设出来，就有8分。6/6