2008年全国高中数学联赛初赛试题及答案(江苏赛区)

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1、2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1.如果实数m，n，x，y满足，，其中a，b为常数，那么mx+ny的最大值为答：[B]A.B.C.D.解由柯西不等式；或三角换元即可得到，当，时，.选B.2.设为指数函数.在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，四点中，函数与其反函数的图像的公共点只可能是点答：[D]A.PB.QC.MD.N解取，把坐标代入检验，，而，∴公共点只可能是点N.选D.3.在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比120.51数列，那么的值为答：[A]A.1B.2

2、C.3D.4解第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的，，，则.选A.4.如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值，那么答：[B]A.与都是锐角三角形B.是锐角三角形，是钝角三角形C.是钝角三角形，是锐角三角形D.与都是钝角三角形解两个三角形的内角不能有直角；的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若是锐角三角形，则不妨设cos=sin=cos，cos=sin=cos，cos=sin=cos.则，，，即，矛盾.选B.5.设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“，，且”的平面，答：[D]A.不存在B.有且只有一对C

3、.有且只有两对D.有无数对解任作a的平面，可以作无数个.在b上任取一点M，过M作的垂线.b与垂线确定的平面垂直于.选D.二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6.设集合，其中符号表示不大于x的最大整数，则.解∵，的值可取.当[x]=，则无解；当[x]=，则，∴x=；当[x]=0，则无解；当[x]=1，则，∴.所以.7.同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是(结果要求写成既约分数）.解考虑对立事件，.8.已知点O在内部，.的面积之比为5：1.解由图，与的底边相同，高是5：1.故面积比是5：1.9.与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为或

4、.解由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为，或.10.在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则=3.解切割化弦，已知等式即，亦即，即=1，即.所以，，故.三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11.已知函数在时有最大值1，，并且时，的取值范围为.试求m，n的值.解由题，……5分，，即，上单调减，且.……10分，n是方程的两个解，方程即=0，解方程，得解为1，，.，，.……15分12.A、B为双曲线上的两个动点，满足。

5、（Ⅰ）求证：为定值；（Ⅱ）动点P在线段AB上，满足，求证：点P在定圆上.证（Ⅰ）设点A的坐标为，B的坐标为，则，，A在双曲线上，则.所以.……5分由得，所以，.同理，，所以.……10分（Ⅱ）由三角形面积公式，得，所以，即.即.于是，.即P在以O为圆心、为半径的定圆上.……15分13.如图，平面M、N相交于直线l.A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线DC在平面N内.已知，，，且，，都是锐角.求二面角的平面角的余弦值（用，，的三角函数值表示）.解在平面M中，过A作DA的垂线，交射线DB于B点；在平面N中，过A作DA的垂线，交射线DC于C点.设DA=1，

6、则，，，，……5分并且就是二面角平面角.……10分在中，利用余弦定理，可得等式，所以，=，……15分故得到.……20分14.能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48；（Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.解（Ⅰ）不能.……5分因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数.但是362248121867242×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+

7、4×3=219·38不是立方数，故不能.（Ⅱ）可以.……15分如右表表中每行、每列及对角线的积都是26·23.……20分