2008年全国高中数学联赛初赛试题及答案(江苏赛区)

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1、2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一、选择题(本题满分30分,每小题6分)1.如果实数m,n,x,y满足,,其中a,b为常数,那么mx+ny的最大值为答:[B]A.B.C.D.解由柯西不等式;或三角换元即可得到,当,时,.选B.2.设为指数函数.在P(1,1),Q(1,2),M(2,3),四点中,函数与其反函数的图像的公共点只可能是点答:[D]A.PB.QC.MD.N解取,把坐标代入检验,,而,∴公共点只可能是点N.选D.3.在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比120.51数列,那么的值为答:[A]A.1B.2

2、C.3D.4解第一、二行后两个数分别为2.5,3与1.25,1.5;第三、四、五列中的,,,则.选A.4.如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值,那么答:[B]A.与都是锐角三角形B.是锐角三角形,是钝角三角形C.是钝角三角形,是锐角三角形D.与都是钝角三角形解两个三角形的内角不能有直角;的内角余弦都大于零,所以是锐角三角形;若是锐角三角形,则不妨设cos=sin=cos,cos=sin=cos,cos=sin=cos.则,,,即,矛盾.选B.5.设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“,,且”的平面,答:[D]A.不存在B.有且只有一对C

3、.有且只有两对D.有无数对解任作a的平面,可以作无数个.在b上任取一点M,过M作的垂线.b与垂线确定的平面垂直于.选D.二、填空题(本题满分50分,每小题10分)6.设集合,其中符号表示不大于x的最大整数,则.解∵,的值可取.当[x]=,则无解;当[x]=,则,∴x=;当[x]=0,则无解;当[x]=1,则,∴.所以.7.同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出6点的概率是(结果要求写成既约分数).解考虑对立事件,.8.已知点O在内部,.的面积之比为5:1.解由图,与的底边相同,高是5:1.故面积比是5:1.9.与圆外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为或

4、.解由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、为准线的抛物线上的点;若切点是原点,则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为,或.10.在中,若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则=3.解切割化弦,已知等式即,亦即,即=1,即.所以,,故.三、解答题(本题满分70分,各小题分别为15分、15分、20分、20分)11.已知函数在时有最大值1,,并且时,的取值范围为.试求m,n的值.解由题,……5分,,即,上单调减,且.……10分,n是方程的两个解,方程即=0,解方程,得解为1,,.,,.……15分12.A、B为双曲线上的两个动点,满足。

5、(Ⅰ)求证:为定值;(Ⅱ)动点P在线段AB上,满足,求证:点P在定圆上.证(Ⅰ)设点A的坐标为,B的坐标为,则,,A在双曲线上,则.所以.……5分由得,所以,.同理,,所以.……10分(Ⅱ)由三角形面积公式,得,所以,即.即.于是,.即P在以O为圆心、为半径的定圆上.……15分13.如图,平面M、N相交于直线l.A、D为l上两点,射线DB在平面M内,射线DC在平面N内.已知,,,且,,都是锐角.求二面角的平面角的余弦值(用,,的三角函数值表示).解在平面M中,过A作DA的垂线,交射线DB于B点;在平面N中,过A作DA的垂线,交射线DC于C点.设DA=1,

6、则,,,,……5分并且就是二面角平面角.……10分在中,利用余弦定理,可得等式,所以,=,……15分故得到.……20分14.能否将下列数组中的数填入3×3的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明.(Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48;(Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.解(Ⅰ)不能.……5分因为若每行的积都相等,则9个数的积是立方数.但是362248121867242×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+

7、4×3=219·38不是立方数,故不能.(Ⅱ)可以.……15分如右表表中每行、每列及对角线的积都是26·23.……20分

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