拉格朗日中值定理和函数的单调性.docx

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1、第六章微分中值定理及其应用§1拉格朗日中值定理和函数的单调性教案目标：通过本节内容的学习，达到以下教案目标与要求：一级目标：熟练掌握拉格朗日定理二级目标：掌握函数的单调性的判断方法教案内容和重、难点：1.拉格朗日定理2.罗尔定理3.函数单调性的判断重点：拉格朗日定理难点：拉格朗日定理的应用教案方法和教具使用：讲授法。教案过程：一、罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1（罗尔定理）若函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3），则存在使得11/11证因在闭区间上连续，故由闭区间上连续函数的最大值最小值定理得，在闭区间上有最大值和

2、最小值.（1）.这时在区间上必然取相同的函数值于是，因此，，有（2）因，故和这两个数中至少有一个不等于在区间的端点处的函数值.因此或（否则且，，矛盾）.若，则使得从而是函数的极大值点，于是由费马定理得若，也可类似得出同样的结论.例1设为上的可导函数，证明：若方程没有实根，则方程至多只有一个实根.证假设至少有两个实根，设都为的两个实根，，则由为上的可导函数得，在区间上连续，在区间内可导，故由罗尔定理得，使得，这与方程没有实根矛盾.故方程至多只有一个实根.定理6.2（拉格朗日中值定理）如果函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，

3、那么，使得11/11拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线.直线是函数的图象.证作辅助函数显然，，且在上满足罗尔定理的另外两个条件.易知故由罗尔定理得，存在，使得移项后即可得到所要证明的等式.例2证明：，其中证设，则.易知在上满足拉格朗日中值定理的条件，故由拉格朗日中值定理得，存在，使得因，故于是11/11推论1如果函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上是一个常数.证在区间上任取两点，应用拉格朗日中值定理得由假定，，所以，即因为是上任意两点，所以，在上的函数值总是相等

4、的，即在区间上是一个常数.推论2如果函数和满足那么，存在常数使得推论3（导数极限定理）设函数在点的某邻域内连续，在内可导，且极限存在，则在点可导，且证因，故要证明，只需证明下面先证明这只需证明因极限存在，故设.从而当时，由拉格朗日中值定理得，存在，使得11/11于是，同理可证故，于是例3求分段函数的导数.解易得又因故，函数在处连续.由于，因此，11/11由导数极限定理得，故函数的导数为二、单调函数定理6.3设在区间上可导，则在上递增（减）的充要条件是对于任意，都有证设在区间上递增，则，若且，则于是，故，有设.，则当时，在区间上应用拉格朗

5、日中值定理，使得故在区间上递增.例4讨论函数的单调区间.（同学自学）定理6.4若函数在开区间内可导，则在内严格递增（递减）的充要条件是：（ⅰ）对任意，有；（ⅱ）在的任何子区间上证（课本上没有证明）只证明递增的情形，递减的情形类似可证.若在内严格递增，则由定理6.3得，对任意，有11/11下面用反证法证明，在的任何子区间上假设在的某个子区间上，这里则由定理6.2的推论1得，在区间上是一个常数，这与在区间内严格递增矛盾.反之，若对任意，有，且在的任何子区间上，则由定理6.3得在区间上递增.于是，，，有若，设.，则由在上递增得，.于是，，从而

6、，即在的子区间上是一个常数，这与已知条件矛盾.故这就证明了在区间上严格递增.推论设函数在区间上可导，且对任意，，则函数在区间上严格递增（严格递减）.证设对任意，下面证明在区间上严格递增.设，，则由在区间可导得，在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，故由拉格朗日中值定理得，，使得因对任意，，故，于是因此函数在区间上严格递增.同理可证，若对任意，则在区间上严格递减.11/11可以证明：（ⅰ）若在上（严格）递增（减），且在点右连续，则在上（严格）递增（减）；（ⅱ）若在上（严格）递增（减），且在点左连续，则在上（严格）递增（减）；（ⅲ）若在上（严

7、格）递增（减），且在点右连续，在点左连续，则在上（严格）递增（减）.证（课本上没有给出证明）这里仅证明（ⅰ）中严格递增的情形.设在上严格递增，且在点右连续.，，则.若，则由在上严格递增得，若，下面用反证法证明假设，令，则.因在上严格递增，故，有.由在点右连续及右极限的保不等式性得，矛盾.例5证明不等式证设，则当时，故在上严格递增.当时，故在上严格递减.在处连续，故在处左连续且右连续.于是，在上严格递减，在上严格递增.，由在上严格递减得11/11，由在上严格递增得故当时，有，即.从而当时有定理6.5（达布定理）若函数在上可导，且，为介于，

8、之间（不包括）的任一实数，则存在，使得证设，则由在可导得，在可导.因，为介于，之间，故故，或.不妨设，则由第五章§1例8（课本P96）得，分别存在，，使得（1）因在上可导，所以在上连续.由闭区间上连续函数的