高中数学第二章推理与证明 综合法和分析法课件新人教A版.pptx

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1、2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法自主学习•新知突破1．了解直接证明的两种基本方法——综合法与分析法．2．理解综合法与分析法的思考过程与特点．3．会用综合法与分析法解决数学问题．一个歇后语：“瞎子摘葫芦——顺藤摸瓜”．一句诗：“问渠哪得清如许？为有源头活水来”．[问题]歇后语表明了一种什么样的思维过程？[提示]顺着藤，摸到瓜，类比顺着已知条件，推出要证的结论综合法已知条件定义定理公理推理论证已知条件定义公理定理所要证明的结论1．对综合法的四点说明(1)思维特点：从“已知”看“可知”，

2、逐步推向“未知”，其推理过程实际上是寻找结论成立的必要条件的过程．(2)优点：条理清晰，易于表述．(3)缺点：探路艰难，易生枝节．(4)思维过程：原因→结果．分析法结论出发充分条件定理定义公理2．分析法的特点(1)思维特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其推理过程实际上是逐步寻求结论成立的充分条件的过程．(2)思维过程：由结果追溯原因，即寻求结果成立的充分条件．(3)优点：容易探路且探路与表述合一；缺点：表述烦琐且不习惯，容易出错．(4)在实际解题时，常常先以分析法为主寻求解题思路，再用

3、综合法有条理地表述过程．1．以下命题中正确的是()A．综合法是执果索因的逆推法B．综合法是由因导果的顺推法C．综合法是因果互推的两头凑法D．综合法就是举反例解析：综合法就是从已知条件(因)出发，利用已有知识进行证明结论(果)的方法．答案：B2．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里②是①的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵②⇒①，∴②是①的充分条件．答案：A4．已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.证明：证法一：(分析

4、法)要证a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca，只需证2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ca)，只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)＞0，只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0，因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0.所以原不等式a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca成立．证法二：(综合法)因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b

5、－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a、b、c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0.所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.合作探究•课堂互动综合法的应用1.综合法是数学证明中最常用的一种方法，本题巧妙地应用了“1”的代换及基本不等式．2．综合法证明不等式常用“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适

6、当变形．分析法的应用用分析法证明不等式时应注意的问题：(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．分析法与综合法的综合应用【错因】没有按照分析法的过程来证明以论证“若A，则B”为例，分析法的书写格式为：欲证命题B成立，只需证命题B1成

7、立，只需证命题B2成立，…，只需证A成立．由已知，A成立，故B必成立．