高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1.1综合法课件新人教A版.pptx

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1、2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法有趣的数学证明引人入胜推理合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具.怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天，我们就来认识一些基本的证明方法……1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一的综合法.（重点）2.了解综合法的思考过程、特点.（难点）探究点1综合法的含义引例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc

2、,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+a2≥2ac,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…以下命题中,正确的是()A.综合法是执果索因的逆推法B.综合法是由因导果的顺推法C.综合法是因果互推的两头凑法D.综合法就是举反例B【即时训练】例1:如图所示,△ABC在平面α外,

3、求证:P,Q,R三点共线.ABCPQR探究点2利用综合法进行证明分析：本例的条件表明，P,Q,R三点既在平面α内，又在平面ABC内，所以可以利用两个相交平面的公理证明.（1）（2）平面内有四边形ABCD和点O,则四边形ABCD为()A.菱形B.梯形C.矩形D.平行四边形D【即时训练】证明：求证：a2+b2+3≥ab+(a+b).【证明】因为a2+b2≥2ab,a2+3≥2a,b2+3≥2b,将此三式相加得2(a2+b2+3)≥2ab+2a+2b,所以a2+b2+3≥ab+(a+b).【变式练习】例3在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ对应的边分别为a，b

4、，c，且Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；a,b,c成等比数列，转化为符号语言就是b2=ac.A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=π.此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C①由①②，得②③由a，b，c成等比数列，有④由余弦定理及③，可得再由④，得因此a=c从而有A=C

5、⑤由②③⑤，得即【提升总结】解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.(2015·烟台高二检测)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.求证：(-1)(-1)(-1)≥8.【变式练习】【证明】因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,所以故1.设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,则x与y的大小关系为()A.x>yB.x=yC.x

6、但不是奇函数C.既是奇函数，又是偶函数D.既不是奇函数，又不是偶函数B3.已知实数a,b满足等式下列五个关系式①②③④⑤其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个D4.已知函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数,则b的值为.【解析】由于f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即ax2-bx+c=ax2+bx+c,故-bx=bx,所以b=0.05.已知等差数列{an},Sn表示前n项和,a3+a9>0,S9<0,则S1,S2,S3,…中最小的是________.【解析】由于{an}为等差数列,所以a3+a9=2a6>0.S9==9

7、a5<0.所以S5最小.S5证明(1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD所以AB⊥PD，又因为AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.综合法用框图

8、表示为:…拥有了太多反而是负担。只拥有一块手表的人知道现在几点，一个拥有两块手表的人却很难确定现在的准确时间