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1、96*经典逻辑视野下的非经典否定余俊伟(中国人民大学哲学院北京100872)[中图分类号]B81[文献标识码]A[文章编号]1002-8862(2010)07-0096-05直觉主义逻辑中的否定有直观而清晰的含义,意为不可能,其强于经典否定;而相干逻辑与弗协调逻辑中的否定缺乏直观性。一般地,非经典否定只有在能够借助经典否定说明的情况下才能获得清晰的含义。我们定义一个从弗协调逻辑到经典逻辑的半嵌入映射,据此可以得到弗协调逻辑的一种粗略直观解释。弗协调逻辑容忍矛盾、不承认矛盾律等说法不准确,其中所谓的
2、矛盾并非通常意义的矛盾。经典逻辑一般即指弗雷格开创的逻辑,其基本特征是外延的、二值的,并且语法上三大基本规律都是其中的定理。而非经典逻辑往往不具备上述某个或某些方面,因此它们的一个特征就是对某个或某些联结词的解释不同于经典逻辑。本文讨论的非经典逻辑即指此类逻辑,而且以最为有名的直觉主义逻辑、相干逻辑及弗协调逻辑为例来阐述。我在非经典逻辑中的否定一文中阐述了这三种逻辑中的否定的[1]直观含义,此后作者在多次会议上与几位学者就其中的一些问题深入探讨过。本文即在上述基础上从经典逻辑的角度尝试尽可能地兼顾技术层面继续深
3、入探讨它们与经典否定之间的关系,对某些质疑做出回应,对一些观点做进一步论证或修正。一直觉主义数学的一个口号是存在就是被构造。断定一个对象存在要能当下给出,或者告诉一个方法,借助这种方法人们可以找到它。而排中律与这个要求是相悖的。非经典逻辑中的否定一文举了两个例子来说明。一个是关于的断定(假设为命题p):的十进制展开式小数点后会有连续10个9出现。到目前为止没有证实这一情况;另一方面由于是无理数,其小数点后数字出现无规律,因而也没有一个方法告诉人们当展开式展开至小数点后面的位数更大时会出现或是不会出现。这样
4、p与并非nnnp两者都不成立。另一个例子是关于已经有定论的费马大定理(x=y+z对于n3无正整数解;假设为命题q)。英国数学家怀尔斯在1995年证明了费马大定理。可以设想在1985的某一个时刻,人们讨论费马大定理成立与否时只能说,目前还没有证明它,今后可能能够证明它;另一方面也可以说,目前还没有否证它,今后可能能够否证它。这样q与并非q两者在那时都不成立。由于数学领域中的命题本身没有时间性,因此人们一旦证实了它,以后便一直视其为真。在1995年它被证明的某个时刻起,q[2]与并非q为真。这两个例子很自然地启发人们
5、设想以如下方式解释直觉主义逻辑:把命题变元解释为数学命题,然后问在某时刻命题变元也就是数学命题是否被证明。把所有时刻聚集在一起得到时间集,如果认为时间都能区分先后,无开端无终止并且是稠密的,那时间集结构有些像有理数结构。一般可以*本文由中国人民大学2009年科学研究基金项目逻辑与哲学从逻辑与概念理论的关系看(项目编号:22382088)资助。经典逻辑视野下的非经典否定97去掉能区分先后这个限制,也不必要求是稠密的,只需要把时刻间的关系想象成不晚于,因而从数学上看这种关系满足自返性及传递性即可。当然除结
6、构上的这个要求外,给命题变元赋值时还要求保真性,即刚才提到的数学命题一旦得证之后应一直被视为真;在一时刻上解释并非q为真要求其后的任意一时刻上q都为假。因此并非q成立就相当于:不仅在当下q不成立,而且在今后它也不成立,简言之,q是不可能的。这种结构能让保真性质不仅对命题变元成立,对任意命题都成立。因而这的确是一个很符合直观的形式解释。直觉主义逻辑不但可以同模态逻辑相比较,而且还可以和经典命题逻辑相比较。从集合包含关系来看,直觉主义逻辑是经典逻辑的一个真子系统,前者仅认可后者承认为规律的一部分;而后者不承认的前者也不
7、会承认。同样可以借助翻译的方法来说明。比如,设经典命题逻辑的语言为由上述模态语言中所包含的后四个符号组成。我们有如下结果:~是经典逻辑的定理当且仅当是直觉主义逻辑的定理。这也就告诉我们,经典逻辑所否定的直觉主义逻辑也要否定。另外还有如下结果,对于每个经典命题逻辑语言中的公式A,将其翻译成直觉主义逻辑语言中的公式A。则有:A是经典命题逻辑的有[3]效式当且仅当其翻译式A是直觉主义逻辑有效式。直观地看,就是经典逻辑承认的规律,按直觉主义标准尽管不一定是规律,但同时也无法否认它们,也即接受它们并不会导致矛盾
8、。因此我们说经典逻辑中否定大致对应于自然语言中人们日常使用的否定词不、并非,而直觉主义逻辑中的否定则是永远不(会),或者说是不可能。从这个角度来看,直觉主义逻辑中的否定其实比经典否定强。从直觉主义逻辑的关系语义来看,经典逻辑是直觉主义框架类中单点框架这一特殊框架类下的逻辑。而如果我们在直觉主义框架的其他方面做些限制,像改变状态间的关系类型,增
