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1、1．4.1生活中的优化问题举例(课时一>【学习目标】1.掌握利用导数求实际问题中用料最省问题的方法，以及利用导数求函数最大值和最小值的方法；2.会求一些实际问题<一般指单峰函数）的最大值和最小值.-------面积、容积最大<最小）问题．3.体会导数在实际问题中的应用。【重点难点】1、利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤2、对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值。一：学习过程预习1：实际生活中经常会遇到用料最省的问题，下面我们一起探究下如何解决用料最省问题。如图在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线
2、折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？b5E2RGbCAP解：设箱底边长为xcm，则箱高箱子容积(0＜x＜60>．解得(不合题意，舍去>并求得由题意知，当x过小(接近0>或过大(接近60>时，箱子容积很小，因此，16000是最大值．答：当x＝40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3．预习2：对于实际问题中用料最省的问题，可以抽象成怎样的函数？如何利用函数求解？在实际问题中，利用实际问题中的等量关系，把实际问题抽象成函数求最值问题。有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x>＝0的情形，若函数在这点有极大<小）值，那么不与端点值
3、比较，也可以知道这就是最大<小）值．即解决用料最省问题。p1EanqFDPw这里所说的也适用于开区间或者无穷区间．二：知识总结求用料最省应用题的一般方法：⑴分析问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式；⑵确定函数的定义域，并求出极值点；⑶比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点．三、【典型例题】题型一、求面积的最大值<最小值）【例一】把长为60cm的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时，面积最大．题型二、求容积的最大值【例二】圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？【变式】用总长为14.8m的钢条制作一个长方
4、形容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．DXDiTa9E3d题型三、求面积和的最小值【例三】把长为100cm的铁丝分成两段，围成一个正方形与一个圆，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？RTCrpUDGiT【变式】都围成正方形，怎样分法，能使面积之和最小？【归纳反思】求最大<最小）值应用题的一般方法：⑴分析问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式；⑵确定函数的定义域，并求出极值点；⑶比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点．【效果反馈】1.把长为１的铁丝分成两段，围成一
5、个正方形与一个圆，要使两个正方形面积之和最小，正方形的周长是最少？2.容积为256的方底无盖水箱，它的高为多少时最省材料？3.如图，内接于抛物线的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，求此矩形的面积的最大值5PCzVD7HxA答案：【例一】解读设长方形长x,则宽为(30-x>,面积为；面积的导数当S'=0时S取极大值,在此问题中也就是最大值,此时x=15,也就是长宽各为15时面积最大,此时围成正方形。jLBHrnAILg【例二】解设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积．3/3则从而即h＝2R．因为S(R>只有一个极值，所以它是最小值．答：当罐的高与底直径相等
6、时，所用材料最省．【变式】解读解:设容器底面短边长为,则另一边长为(,高为.设容积为,则(0＜x＜1.6>,整理,得.所以.令,解得或(不合题意,舍去>.因此,当x=1时,y有最大值且此时,高为3.2-2×1=1.2.答:容器的高为1.2时,容积最大,最大容积改为1.8.【例三】设围成的圆的半径为R,正方形的边长为a,它们的面积为:因为:解出这样,即所以，时，此时围成的两个图形面积之和最大。因此当正方形的长度为56厘M时,围成的两个图形面积之和最小。【变式】解：将铁丝分成和两部分，列方程得：则。令解得，当0＜X＜50时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0；当时，y最小，此时因此当正
7、方形的长度为50厘M时,围成的两个图形面积之和最小。【效果反馈】1.设圆的周长为x，正方形和圆的面积之和为y，圆的周长：正方形的周长：2.解读：设水箱高为h，底面边长为a，则，其表面积为令，得a＝8.3/3当0＜a＜8时，S′＜0；当a＞8时，S′＞0；当a＝8时，S最小，此时h＝＝43.解：设CD＝x，则点C坐标为，点B坐标为，∴矩形ABCD的面积，x∈(0,2>．由，得(舍去>，，∴时，，是递增的；时，，是递减的，∴当时，取最大值.∴此矩形的面积的最大值为申明：所有资料为本人收集整理，仅
