参考资料-高数竞赛辅导(多元积分)

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1、高等数学竞赛辅导多元函数积分学多元函数积分学重点、难点与解题技巧2013.5.4-5I.重积分•1.计算二重积分时积分次序的选择,以及二次积分交换次序问题•2.利用对积分区域的可加性计算二重积分的几种情况•3.利用对称性简化二重积分的计算•4.计算三重积分时,“切片法”的使用•5.利用对称性和轮换对称性，简化三重积分的计算•6.可利用形心坐标公式，较快地求某些重积分•7.重积分的一般变量替换•8.杂例1.计算二重积分时积分次序的选择，以及二次积分交换次序问题当D既是X−型区域又是Y−型区域时,有by2(x)∫∫f(x,y)dxdy=∫d

2、x∫f(x,y)dyay1(x)D()dx2y=∫∫d(yfx,y)dx()cx1y即在计算时可根据“既能计算出来,又尽量简单”的原则,选择一个适当的次序进行.极坐标下一般先对ρ积分.以上等式也表明,此时可以交换二次积分的积分次序.当按一种次序积分有困难时,可将其交换次序后,再进行计算.关键是根据二次积分的两对上、下限，画出相应二重积分的积分域，即使题目简单也应画出.11xy例1.1(07竞赛计算)I=∫∫dx2d.y0x31+y11xyxy解Ix==∫∫d2ddy∫∫xdy0x331+yD1+y211yyy==∫∫dddyxx∫y00

3、03312++yy1y11113D=+=−12y(1).yx=2330O1x例1.209（考研）设(,)fxy连续则,2224−y∫∫d(xfxyy,)dd(+=∫∫yfxyx,)d()C.11xy24−−xx24(A)d∫∫11xfx(,)d(B)dyy∫∫1xfxx(,)dyy24−y22(C)d∫∫11yf(,)d(D)dxyx∫∫1yfy(,)dxyx22解d(由∫∫xfxyyD,)d得(见图),1x1y24−y由∫∫1d(yfyx,yxD)d得(见图),2记则DDD=+,122D1Dx=≤{(,)1yxyy≤4,1−≤≤2}.

4、D212224−y∴∫∫d(xfx,yy)dd(+∫∫yfx,y)dx11xy4O12x=+∫∫fxy(,)dσ∫∫fxy(,)dσDD1224−y==∫∫f(,)dxyσ∫dy∫fxyx(,)d.11D值得注意的是，一般的二次积分就是做一次定积分后再做一次定积分，而定积分的上限不一定大于等于下限；然而，由二重积分化成的二次积分其上限必须大于等于下限！当给定的二次积分之上限小于下限时，若要交换积分次序,则先应将上、下限颠倒过来(同时改变二次积分的符号)，然后再按前述步骤进行.πxsiny例求1.3dI=∫∫2xyπd.02yππxsin

5、yπsiny解Ix=∫∫22ddddπyx=−∫∫2y00x2yysinyπysiny=−∫∫ddxyyx=−∫2d∫dyy00Dyππ=−∫2sindyy=−1.20Dyx=Oπx22.利用对积分区域的可加性计算二重积分的几种情况(1)先对(或)积分时yDx不是型X−(或Y−型)；(2)为DX−型区域时,()()[,]yxyxab或在上是12分段函数；(在极坐标系中有类似情况.)y2aρ2cosaθDρ=2sinaθO2ax4例1.4(12考研数3)由曲线yy==与直线x及xyx=4在第一象限中所围成图形的面积为_4ln2___.yy

6、=4x解所围图形如D右图所示.yx=4将分为DD,,DDDD即=+.1212DD2Dy=41xS==+∫∫dddσ∫∫σσ∫∫O12xDDD12414x2=+∫∫ddddxyxy∫∫x01xx124=+∫∫013dxxx(−)dxx33=+4ln2−=4ln2.22(3)被积函数是上D的分片函数.例考1.5(08研数2)max{,1}dd,求I=∫∫xyxyDy其中Dx=≤{}(,)0yx≤2,0≤y≤2.2DD211解用曲线xy=1,将分为DDD.D212D22Ix=∫∫yddxyx+∫∫1ddyO12x2可不分DDD=+DD2212

7、212SS=−422DD21=+∫1dddx∫1xyy∫∫xydd+∫∫xyd222xDD=−4dd∫∫xy2122112x11=−+15ln2∫2dx∫∫∫22dyxy+dxd=−−432ln21()000421519=+12ln2=−++ln212ln2=+ln2.442例1.6(07,09竞赛计算)(,)If=−∫∫xyyxxdd,yD2yy=xy=x其中Dx={(,)(0yx≤≤≤≤1,0y1},1D1f(,)max,.xy={xy}DD2D(,)xyfxyyx(,)23解ϕ=−O1x⎪⎧−2≤≤≤≤yyx,1xy,0x1,=⎨

8、2⎪xyx−,0≤≤≤≤yx,0x1,⎩⎧−2≤≤≤≤yyx(),1xy,0x1,⎪⎪=⎨⎪⎧−22≤≤≤≤xyx()xyxx,01,⎪⎨22⎪⎩⎪⎩xxy()−0,≤yx≤≤0x≤1.22∴=I∫∫yy(