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1、1高等数学数学是科学的大门和钥匙.—培根(AdvancedMathematics)2映射函数第一章函数与极限第一节映射与函数(mapping)(function)3逻辑符号最常用的两个逻辑记号“”表示“任取”,或“任意给定”.“”表示“存在”,“至少存在一个”,或“能够找到”.Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写Exist(存在)的字头E的倒写此外,s.t.（suchthat）也是常用的逻辑记号，表示“使得”。4任意给定两个正的实数a,b,都存在一个自然数n,用逻辑符号将阿基米德公理改写:练习如实数的阿基米德(A
2、rchmed)公理是这样叙述的:5一、区间与邻域(a,b),[a,b],(a,b],[a,b)区间6邻域(neighbourhood)数集即邻域,记作几何表示有时简记为7去心(空心)即8二、函数(function)9例.已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域10几个今后常引用的函数绝对值函数例定义域值域11符号函数定义域值域对例有或12取整函数如例当阶梯曲线定义域值域表示不超过x的最大整数·4·12-1-13有界性(bounded)设函数y=f(x)在区间I上有定义,则说f(x)在区间I上有上界.(下)使得
3、对所有若存在常数A都有(B),3.函数的几种特性若存在常数使得对所有则称f(x)在I上有界.在I上无界;都有若这样的M不存在,则称f(x)即为对于任何总存在使则称f(x)在I上无界.15有界无界显然,有界等同于既有上界又有下界.16在定义域上有界的函数叫做例是有界函数;是无界函数,但它在区间上在区间上(boundedfunction)有界函数.有下界,有界.练习A.有上界无下界B.有下界无上界C.有界,且D.有界且解C18六个常见的有界函数19初等函数(elementaryfunction)(basicelementaryf
4、unction)(1)基本初等函数202)指数函数(exponentialfunction)定义域为值域为213)对数函数(logarithmfunction)定义域为值域为224)三角函数(trigonometricfunction)正弦函数定义域为值域为23余弦函数定义域为值域为24正切函数余切函数定义域值域定义域值域255)反三角函数(inversetrigonometricfunction)定义域值域主值26定义域值域主值反余弦函数27主值定义域值域反正切函数反余切函数主值定义域值域28幂函数、指数函数、对数函数、三
5、角函数和反三角函数统称为基本初等函数.29复合函数(compoundfunction)(1)并非任何两个函数都能复合成为复合函数;(2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.注不能构成复合函数.(3)反过来,一个复杂的函数根据需要也可以分解为若干简单函数的复合.30(2)初等函数(elementaryfunction)初等函数.如都是初等函数.不是初等函数.由常数和基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为31注一般分段函数不叫初等函数,想一想可看作分段函数
6、,是否又可看作是初等函数?答:故又可看作是初等函数.是!由于不是用一个式子表达出来的.因为它32奇函数.偶函数.1)双曲函数叠加法(3)双曲函数与反双曲函数双曲正弦双曲余弦33奇函数,有界函数,双曲正切34双曲函数常用公式(自学,P17–P21)35思考题1988年考研数学一,5分及其定义域.解题思路此题是复合函数问题,可设从题目条件分析u和x的关系.解令则于是,
