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1、2011年高考数学一轮复习资料第一章集合与函数概念第1讲集合的概念及其运算【知识精讲】1.元素和集合的关系是从属的关系,集合与集合的关系是包含的关系,二者符号表示不同.求解集合问题的关键是搞清楚集合的元素,即元素是什么,有哪些元素.2.集合的关系有子集、真子集;集合的运算有交集、并集、补集和相等.常常借助Venn图、数轴和函数图象进行有关的运算,使问题变得直观,简洁.3.空集是不含任何元素的集合,因其特殊常常容易忽略.在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=或A≠两种可能,此时应分类讨论.【基
2、础梳理】1.集合与元素(1)集合元素的三个特征:____确定性_____、___互异性_____、____无序性_____.(2)元素与集合的关系是___属于___或____不属于____关系,用符号____或_____表示.(3)集合的表示法:__列举法_____、___描述法____、___图示法____、__区间法_____.(4)常用数集:自然数集N;正整数集N*(或N+)。整数集Z;有理数集Q;实数集R.(5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为____有限集____、__无限集___、__空集_.2.
3、集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对任意的x∈A,都有x∈B,则(或).若AB,且在B中至少有一个元素x∈B,但xA,则____(或____).___A;A___A;AB,BCA____C.若A含有n个元素,则A的子集有__2n__个,A的非空子集有__2n-1_个,A的非空真子集有__2n-2__个.(2)集合相等若AB且BA,则___A=B____.3.集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集:A∪B={x
4、x∈A或x∈B};交集:A∩B=___{x
5、x∈A且x∈B}____;补集:=_____.U为全
6、集,表示A相对于全集U的补集.(2)集合的运算性质并集的性质:A∪=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=ABA.27/27交集的性质:A∩=;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=AAB.补集的性质:【要点解读】要点一集合的基本概念【例1】已知集合M={y
7、y=x2+1,x∈R},N={y
8、y=x+1,x∈R},则M∩N=()A.(0,1),(1,2)B.{(0,1),(1,2)}C.{y
9、y=1,或y=2}D.{y
10、y≥1}【命题立意】集合M、N是用描述法表示的,元素是实数y而不是实数对(x,y),因此M、N分别表示函
11、数y=x2+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的交集.【规范解读】M={y
12、y=x2+1,x∈R}={y
13、y≥1},N={y
14、y=x+1,x∈R}={y
15、y∈R}.∴M∩N={y
16、y≥1}∩{y
17、y∈R}={y
18、y≥1},∴应选D.【误区警示】①本题求M∩N,经常发生解方程组从而选B的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是点,因此M、N是数集而不是点集.②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{
19、x
20、y=x2+1}、{y
21、y=x2+1,x∈R}、{(x,y)
22、y=x2+1,x∈R},这三个集合是不同的【变式训练】集合中有一正一负两个元素,求的值.【规范解读】因为集合有两个不同元素,所以且,设两个元素分别是,因为两个元素符号相反,所以.【技巧点拨】本题的实质是一元二次方程解的问题,解题思路有两种,一种是利用判别式和韦达定理。另一种是利用二次函数图象数形结合.【答案】由题意知,方程为一元二次方程,且有一正一负根,设两个根分别是,则由可得.27/27要点二集合的关系【例2】若A={2,4,-2-+7},B={1,+1,-
23、2+2,-(-3-8),++3+7},且A∩B={2,5},则实数的值是________.【命题立意】本题考查了集合的表示,集合语言的理解、集合的运算,解一元一次、二次方程和分类讨论思想的应用.【规范解读】∵A∩B={2,5},∴-2-+7=5,由此求得=2或=±1.A={2,4,5},集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查.当=1时,-2+2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去=1.当=-1时,B={1,0,5,2,4},与A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去=-1.当=2时,A={2,4,5},B
24、={1,3,2,5,25},此时A∩B={2,5},满足题设.故=2为所求.【误区警示】集合元素的互异性,是集合的重要属性,教案实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,强化对集合元素互异性的认识.【变式训练】已知集合,,且则的值为______.【规范解读】集合都表示方