线性代数 第五章二次型.ppt

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1、华南农业大学理学院应用数学系线性代数多媒体教学演示第一章矩阵与线性方程第三章向量的内积与正交矩真第五章二次型第七章Matlab软件的应用第二章向量与线性方程组第六章线性空间与线性变换第四章矩阵的特征与特征向量第五章二次型§1二次型的标准形§3正定二次型§2二次型的规范形二次型的标准形第一节二次型和它的矩阵定义叫做二次型。二次型f对称矩阵A对称矩阵A的秩定义为二次型f的秩显然A是对称矩阵，这表明对称矩阵A是二次型的矩阵。只含有平方项的二次型叫做标准形解（秩不变）二次型的标准形定义如果x的二次型经过可逆线性变换x=Hy变成y的二次型就称此二次型为原来二次型的标准形。定理1对于任

2、意可逆矩阵C,令定义设A,B为n阶方阵,如果存在n阶可逆矩阵C,使得则称矩阵A与B是合同的,称矩阵C为合同变换矩阵.如果A是对称矩阵,则B也是对称矩阵,且R(A)=R(B).定理2任给二次型是任意二次型其中A是n阶对称矩阵存在正交矩阵P，使得作正交变换总有正交变换x=Py使f化为标准形其中为A的所有特征值.定理:设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使用正交变换化二次型为标准型正交变换对称矩阵A正交矩阵P用正交变换化二次型为标准型的具体步骤：2.求矩阵A的特征方程3.求特征方程的根，即特征值4.对每个特征值解方程组得到n个特征向量5.对这个特征向量正交化和单位化，得到6.便

3、得到标准型1.求二次型的矩阵A得特征值可求得的单位特征向量顺次为试用正交变换化二次型为标准形解矩阵A的特征多项式为特征值正交化单位化作正交变换代入f，得到标准型例求下列平面图形所围图形的面积：解A的特征值为经过正交变换曲线可化为标准形二次型的规范形第二节例对二次型作不同的变换化为标准型。解作变换若取可逆的线性变换非零项的个数相同，正项的个数也相同定理5.3二次型可通过可逆的线性变换化为标准型:且例试指出二次型经可逆线性变换后的标准型中非零项的数目。惯性定律对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的（称为负惯性指标），因而非零项的个数固

4、定(称为惯性指标）f的惯性指标=f的矩阵A的非零特征值个数rf的正惯性指标=f的矩阵A的正特征值个数f的负惯性指标=f的矩阵A的负特征值个数正定二次型第三节正定二次型定义：判定二次型的正定性定理1推论定理2推论定理定理3(hurwitz定理）定义设n阶方阵我们把n个行列式都叫做矩阵的顺序主子式。推论A的三个顺序主子式为所以A是正定矩阵，f是正定二次型。方法一方法二A的特征方程为解出特征值故A是正定矩阵，f是正定二次型。解A的三个顺序主子式为所以f为负定二次型。通过计算,易得A的特征值分别为A既不是正定的,也不是负定的,也不是半正定的判别正定二次型（矩阵）的三种方法1.标准形

5、2.特征值3.顺序主子式补充是正定二次型的充分必要条件是:存在可逆阵P,使得证明：若A是正定矩阵，则也是正定矩阵。判别二次型的正定性练一练二次型正定时，t应满足的条件二次型正定时，t应满足的条件练一练