特征值与二次型48(16-22).ppt

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1、第五章特征值与二次型§1向量的内积§2方阵的特征值和特征向量§3相似矩阵§4化二次型为标准型§5正定二次型1湖南科技大学吴晓勤第一节向量的内积一内积的定义和性质三正交向量组二向量的长度与夹角四正交矩阵与正交变换2湖南科技大学吴晓勤一、内积的定义与性质1、定义设ｎ维实向量称实数为向量α与β的内积，记作注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有3湖南科技大学吴晓勤说明1维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．4湖南科技大学吴晓勤例1计算[x,y]，其中x,y如下：(1)x=(0,1,5,-2),y=(-2,0,-1,3);(2)x=(-2,1,0

2、,3),y=(3,-6,8,4).解：(1)[x,y]=0(-2)+10+5(-1)+(-2)3=-11;(2)[x,y]=(-2)3+1(-6)+08+34=0.5湖南科技大学吴晓勤２、性质（1）对称性：（2）线性性：（3）正定性：１、长度的概念当且仅当时二、向量的长度与夹角令为ｎ维向量α的长度（模或范数）.特别长度为１的向量称为单位向量.6湖南科技大学吴晓勤（1）正定性：（2）齐次性：（3）三角不等式：２、性质（4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式:当且仅当α与β的线性相关时，等号成立.注①当时，②由非零向量α得到单位向量是α的单位向

3、量.称为把α单位化或标准化.的过程7湖南科技大学吴晓勤３、夹角设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹角的余弦为因此α与β的夹角为例解练习8湖南科技大学吴晓勤三、正交向量组1、正交当，称α与β正交.注①若　　，则α与任何向量都正交.②③对于非零向量α与β，2、正交组若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则这个向量组称为正交向量组，简称正交组.3、标准正交组由单位向量组成的正交组称为标准正交组.9湖南科技大学吴晓勤常采用正交向量组作为向量空间的基,称为向量空间的正交基.定理1若n维非零向量1,2,…,r为正交向量组,则它们为线性无关向量组.10湖南科技大学吴晓

4、勤如果r(r

5、正交组.注21湖南科技大学吴晓勤课前复习１、内积２、长度３、夹角４、正交５、施密特（Schmidt）正交化法６、正交矩阵和正交变换其中Ｐ为正交矩阵．正交变换的优良特性：长度不变22湖南科技大学吴晓勤例５判别下列矩阵是否为正交阵．23湖南科技大学吴晓勤解所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于24湖南科技大学吴晓勤所以它是正交矩阵．由于25湖南科技大学吴晓勤26湖南科技大学吴晓勤1．将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化．小结2．为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：27湖南科技大学吴晓勤作业习题五（P126）：3:(2),4

6、，5:（2)。28湖南科技大学吴晓勤求一单位向量，使它与正交．思考题29湖南科技大学吴晓勤思考题解答30湖南科技大学吴晓勤说明§2方阵的特征值和特征向量31湖南科技大学吴晓勤32湖南科技大学吴晓勤33湖南科技大学吴晓勤解例134湖南科技大学吴晓勤35湖南科技大学吴晓勤例２解36湖南科技大学吴晓勤37湖南科技大学吴晓勤求一个方阵A的特征值与特征向量,其步骤一般为:1)计算A的特征多项式f()=

7、A-En

8、;2)求出f()=0全部根,这些根就是A的全部特征值3)对于每一个特征值0,求出齐次线性方程组(A-0En)x=0的一个基础解系,设为1,2,…,s,则k1

9、1+k22+…+kss(ki不全为零,i=1,2,…,s)就是A的属于特征值0的全部特征向量.38湖南科技大学吴晓勤39湖南科技大学吴晓勤40湖南科技大学吴晓勤例4证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得41湖南科技大学吴晓勤42湖南科技大学吴晓勤定理设x是方阵A的对应于特征值的特征向量,则1)k是kA的特征值,特征向量为x;2)m是Am的特征值,特征向量为x;3)-1是A-1的特征值,特征向量为x;4)若f(x)=a0xm+a1xm-1+…+am,则f()是f(A)=