刘金旺 5特征值与二次型.ppt

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1、第一节　向量的内积第五章特征值与二次型第二节　方阵的特征值和特征向量第三节　相似矩阵第四节　化二次型为标准型第五节　正定二次型5.1向量的内积返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页上述从线性无关向量组导出的经过称为施密特正交化过程。它不仅满足　　　　　与　　　　　等价，还满足：对于任何ｋ(１≤ｋ≤ｒ）向量组　　　　与　　　　　等价.返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回

2、上一页下一页5.2方阵的特征值和特征向量返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页5.3相似矩阵返回上一页下一页返回上一页下一页定理6实对称矩阵的特征值都是实数。返回上一页下一页返回上一页下一页定理8设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T，使返回上一页下一页返回上一页下一页例设求正交矩阵T，使T-1AT为对角矩阵。解显然A'=A。故一定存在正交矩阵T，使T-1AT为对角矩阵。先求A的特征值返回上一页下一页返回上一页下一页

3、求得一基础解系为正交化，令再单位化，令返回上一页下一页求得一基础解系为只有一个向量，只要单位化，得返回上一页下一页以正交单位向量组为列向量的矩阵T就是所求的正交矩阵。有返回上一页下一页5.4化二次型为标准型二次型写成对称形式当为复数时，称为复二次型，为实数时称为实二次型。定义8n元变量的二次齐次多项式称为二次型。（1）返回上一页下一页对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换（2）使二次型只含平方项，也就是用（3）代入（1）,能使返回上一页下一页这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形。由（2）式，利用矩阵二次型可表为返回

4、上一页下一页记返回上一页下一页其中A为实对称矩阵。任给一个二次型，就惟一地确定一个对称矩阵，反之任给一个对称矩阵，也可以惟一地确定一个二次型。这样二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系，则二次型可记为返回上一页下一页因此，我们把对称矩阵A叫做二次型ｆ的矩阵，也把ｆ叫做对称矩阵A的二次型，对称矩阵A的秩叫做二次型的秩。返回上一页下一页说明经可逆变换x=Cy后,二次型f的矩阵A变为对称矩阵C‘AC,且二次型的秩不变,矩阵的合同关系与相似关系一样,都满足反身性,对称性,传递性.即这种合同变换既不改变矩阵的秩，也不改变矩阵的对称性。证因A'=

5、A,故B'=(C'AC)'=C'A'C=C'AC=B即B为对称矩阵.又因为B=C'AC,而C'与C均为可逆矩阵,故A与B等价,于是R(B)=R(A).定理9任给可逆矩阵C,令B=C'AC,如果A为对称矩阵,则B亦为对称矩阵,且R(B)=R(A),此时,也称A与B合同.返回上一页下一页要使二次型f经可逆变换x=Cy变成标准形,这就是要使也就是要使C'AC成为对角矩阵。因此，我们的主要问题就是：对于对称矩阵A，寻求可逆矩阵C，使C'AC为对角阵。由上节内容可知，任给实对称矩阵A，总有正交矩阵P,使得P-1AP=,即P'AP=，故返回上一页

6、下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页5.5正定二次型返回上一页下一页推论对称矩阵A正定当且仅当A的特征值全为正.返回上一页下一页返回上一页下一页判别一个二次型是否正（负）定，可以从其标准形中正（负）平方项的个数来判别，也可以判别其对应的矩阵是否正（负）定，从而判别所讨论的二次型是否正（负）定。返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页