人教A选修二第2章2.3.ppt

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1、2．3数学归纳法学习目标1.了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知能优化训练课前自主学案2．3课堂互动讲练课前自主学案温故夯基归纳推理的一般步骤(1)实验、观察：通过观察________发现某些相同性质．(2)概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(3)猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性命题．个别事物知新益能1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值_____

2、____时命题成立；(2)(归纳递推)假设_________________时命题成立，证明当_______时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有_______都成立．上述证明方法叫做__________．n＝k＋1正整数n数学归纳法n0(n0∈N*)n＝k(k≥n0，k∈N*)2．用框图表示数学归纳法的步骤问题探究数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系？提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可．课堂互动讲练用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有

3、多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项．考点突破考点一用数学归纳法证明恒等式例1【思路点拨】所以n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可得，对一切n∈N*，等式成立．【思维总结】运用数学归纳法证明等式问题应注意当n＝k＋1时添加了哪些项，并明确要证明的目标，以便分析思路，便于入手．变式训练1用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1＋3＋5＋…＋

4、(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1，则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)＝2k2＋2k＋1＝2(k＋1)2－2(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，等式成立，由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立．(1)在利用数学归纳法证明不等式时，除直接应用不等式性质证明外，还经常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、综合法、放缩法等．(2)在由假设n＝k时成立，证明n＝k＋1成立时，一定要注意项的变化．考点二用数

5、学归纳法证明不等式例2所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．变式训练2求证：如果x是实数，x>－1且x≠0，n为大于1的自然数，那么(1＋x)n>1＋nx.证明：(1)当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x，因为x≠0，所以不等式成立．(2)假设当n＝k时不等式成立，即(1＋x)k>1＋kx.那么当n＝k＋1时，左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)，因为x>－1，所以上式>(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1(k＋1)x.所以当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)及数学归纳法可

6、知原不等式成立．用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．考点三用数学归纳法证明几何问题例3【思路点拨】找到从n＝k到n＝k＋1增加的交点的个数是解决本题的关键．【思维总结】用数学归纳法证明几何问题时一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．“归纳——猜想——证明”的问题是探索性命题，它是通过对特殊情况的观察——归纳——猜想

7、——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题并证明所猜结论的正确性，这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．考点四归纳——猜想——证明例4【思维总结】由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后再用数学归纳法证明，用不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法，证明的关键是根据已知条件和假设寻找ak与ak＋1或Sk与Sk＋1之间的关系，使命题得证．变式训练3已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)．(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明{an}