平面一级倒立摆系统的分析与控制.pdf

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1、机械工程师MECHANICALENGlNEER平面一级倒立摆系统的分析与控制彭燕1，鲁智安21．东莞职业技术学院机电工程系，广东东莞523000：2广东省；Tf-]市质量计量监督检测所，广东江门529020)摘要：在介绍平面一级倒立摆数学模型的基础上，通过实验和仿真，先确定理想的加权矩阵Q和露，然后采用线性二次型最优控静JLQR设计出可以精确控制平面一级倒立摆的控带0器。关键词：平面一级倒立摆：矩阵Q和R：LQR中图分类号：TP273文献标志码：A文章编号：1002—2333(2016)09—0128—020引言倒立摆系统是进行控制理论研究的理想实验平台，其具有高阶次、不稳定、多变量、非线性

2、和强耦合特性。倒立摆系统的结构从简单的直线倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆，最后发展到空间倒立摆，结构逐渐复杂，控制的难度也增加。本文选择LQR控制方法，使倒立摆在系统平衡的情况下，消耗的能量和控制的精确度达到最优，解决了倒立摆系统的非线性、不稳定性、耦合性等问题，减小其控制难度。1平面一级倒立摆系统的概述平面一级倒立摆系统由xy平台、摆杆、交流伺服电动机、限位开关、光码盘组成。摆杆的底部通过x平台、y平台的移动，实现摆杆在平面内的自由运动，并且可以实现摆杆沿平面内的一轴转动。平面一级倒立摆系统的控制即要求倒立摆系统受到外界影响时，摆杆可以及时做出调整，迅速做出反应，使摆杆的摆动角度很小。使用

3、最短的时间，使摆杆在小车的控制下达到稳定状态。2平面一级倒立摆系统的分析Z而。卜0X／簿嘹?r图1平面一鸟Z倒立摆受力分析简化平面一级倒立摆系统，对其进行受力分析，如图1所示。在该系统中，M(1．32kg)为小车的质量，m(0．13kg)为摆杆的质量，Z(O．275m)为摆杆的转动中心到其质心的距离，g(9．8ln／s：)为重力加速度，OZ,／3为摆杆绕X、y轴的转角，X”、≯为小车沿x、l，轴方向的加速度。采用拉格朗El法推导平面一级倒立摆系统的数学模型⋯，并将相关参数带入，求解可以得到平面一级倒立摆的非线性动力学微分方程：焉(赫asi印一；cosd—f秒sinctcos嶝in⋯够)'(1

4、)房万去(毒OSO／COs／3+2／硒sina。。。孵。s碱邮)。基金项目：东莞职业技术学院一般项目(2015011)对非线性动力学微分方程线性化处理，进行泰勒级数展开，可得：&=和㈢梦，(2)声=护39R3)x。平面一级倒立摆采用加速度作为输入，得到系统状态方程为：0l0O10o堑o4Zx+By=00O0O0O0O010O01o00丝o4Z+0Ol0一三04f0l00．．．．—3—4Z由式(3)可得，平面一级倒立摆系统的微分方程经过线性化处理以后，系统在x和y两个方向进行解耦，极大地简化了控制系统，将原来的一个系统变成了两个相互独立的系统，且两个系统完全对称，即平面倒立摆中x和y方向的状态

5、方程相同，只需要对其中一个方向进行分析。3平面一级倒立摆控制系统的仿真3．J基于LabView建立平面一级倒立摆的数学模型如图2所示，应用LabView软件，对平面一级倒立摆数堂撞型竺!筮堑羞建童墓丛查友猩。^

6、匝i弘r黔q嘲矿■匦酗图2基于LabView的平面一级倒立摆的数字模型128i2016年第9期网址wwWjxgcs．com电邮：hrbengineer@163corn机械工程师MECHANICALENGlNEER3．2加权矩阵Q和R的确定平面一级倒立摆的LQR控制中，最重要的是对Q和R的确定。Q和冠之间存在一个相互约束的关系。在实际的控制系统工作过程中，控制精度过分要求，就会造成能耗

7、过大；控制能量减少，就会造成控制精度的降低。所以选择最佳的加权矩阵Q和R，需要根据实际的控制系统来确定。通过多次试验，选择多组实验数据进行分析，挑选出一组既能满足控制精度又能满足能量消耗的Q和R。在LQR控制中，对于最优反馈系数矩阵K=冠一BTP(￡)，可以使用Matlab软件@lqr(A，B，Q，R)函数求取鬈的值，可以直接得到K的结果。10由枷不确定，首先假设肚·，啡{：：：：J。【00J其中：Q¨为小车位置的权重，Q¨=1；Q：．：为摆杆角度的权重，Q：．：=1，R为输入权重。通过lqr(A，B，Q，R)函数运行结果可以得到反馈增益j，-卜1—25．61一1．79—4．87]。仿真结果

8、如图3所示。协真H-，u]／s图3R=I，Q。=1，Q：．：=】时仿真结果由图3可知，摆杆的摆角变化范围不大，在一0．05。0．1之间，但是小车的位移变化在0～0．2之间，幅度比较大，整个控制系统稳定下来需要4．8s左右的时间，系统对控制的反应花费时间比较长，达不到预期效果，需要对Q和R进行调整。平面一级倒立摆系统采用的是二维数控平台，摆杆对动力的消耗比较小，小车对动力的消耗也比较小，所以加权矩阵R=I不需要