一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析

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1、一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析—、引言倒立摆系统是研究控制理论的一种典型的实验装置，具冇成本低廉，结构简单，参数和结构易于调整的优点。然而倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，是一个绝对不稳定系统。倒立摆实物仿真实验是控制领域屮用来检验某种控制理论或方法的典型方案，它对一类不稳定系统的控制以及对深入理解反馈控制理论具有重要意义。倒立摆系统在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中冇重要的现实意义，相关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。二、一级直线倒立摆模型的建立图2小车和摆杆的受力分析图2.1传递函数模

2、型图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。设小车质量为M,摆杆质量为m,小车摩擦系数为b,摆杆转动轴心到杆质心的长度为1,摆杆的传动惯量为I,根据牛顿第二定律，可以得到系统的两个运动方程：.2(M+rri)bx+ml0cos3-ml0sin0二F(1)••••(Iml2)0+mglsin0=-mlxcos0(2)设0=;r+0,假设0与1(单位是弧度)相比很小，即cvvl,则可以进行近似处理：cos0=-l,sin&=-0,(―)2=0o用况来代表被控对彖的输入力F,线dt性化后两个运动方程如下：••••(3)(/+ml2}(p-mglcp-mlx(M+m)x+hx-m

3、l(p-u假设初始条件为0,对式(3)进行拉普拉斯变换得到:(/4-m/2)O(5)52一加g/①(f)=mlX(5)52(巧(M+m)X(5)52+bX(5)5-m/O(5)52=U(s)曲于输出为角度0，求解方程组的第一个方程，可以得到:①($)_mis2X(s)(/+ml2)s2-mgl(5)令卩=兀,则有:潜U+启一咖(6)把上式代入方程组的第二个方程，得到:(M+m)[(/+m/)-^]0(s)s2+切Q+加)+电]%)$2—加恥)$2=徑)(7)mlsmls整理后得到传递函数:ml①(s)_qI—1U(5)qtb(I+mF)q+m)mglhmglS"i~—S

4、-sqqq其中q=[(M+m)(/+ml2)-(ml)2]。2.2状态空间模型设系统状态空间方程为:X=AX+BuY=CX+Du(9)对i0解代数方程，得到解如下结果:x=x••一(I+・nvgl2(/+加彳)X=X+7(P+UI(M+m)MMI(M+I(M+7.9m-gl-(P=(P"-mlb•m2(M+m)(p=兀+(p+7uI(M+m)Mml2l(M+/(M+m)Mml2ml整理后得到系统状态空间方程:■_010()■■0~••~(I+ml2)bm2gl2nX■(Z+mZ2)XI(M+m)Mml2uX4-I(M+■(p0001(p0••0-mlbmg(M+m)0■

5、

6、性判断矩阵满秩，系统完全能控。用MATLAB计算出呦灿L(CA)r(CA2)7(6叮]=4,可知系统能观性判断矩阵满秩，系统完金能观。通过线性二次型最优设计方法在实际的倒立摆控制系统设计中得到了广泛的应用，具冇较好的鲁棒性与动态特性以及能够获得线性反馈结构等优点。最优控制理论主要是依据极大值原理，通过对性能指标的优化來寻求使冃标极小的控制器。应用状态空间模型，定义性能指标函数为：丿=[[*么+/皿抽，性能参数Q、R的选择非常重要，如杲选择不当，则可能使系统处于不稳定状态，就更谈不上最优了。因此只有通过反复的实验选取合适的Q和R才能实现对倒立摆系统的稳定控制。4.1最优反

7、馈增益矩阵的求取使用完全状态反馈设计控制器，由于系统是完全能观和能控的，故系统屮4个状态变量均可观测，并可用于状态反馈。根据倒立摆系统运动过程特点，以稳定摆杆为主，其次考虑小车的水平位移，选取合理的加权矩阵Q和R,从而求取状态反馈矩阵Ko选择加权矩阵：Q=diag([10,0,50,0]),R=0.01o根据选择的加权矩阵，通过matlab编程计算：A=[0100;0-0.088320.629320;0001;0-0.2356627.828530];B=[0;0.8832;0;2.3566];C=eye(4);D=[0;0;0;0];Q=