复变函数第一章(2)复数的乘幂与方根.ppt

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1、1.2复数的乘幂与方根注:1.2.1复数的乘幂解:解:1.2.3复数的方根(乘幂的逆运算)注:解:因为所以即四个根是内接于中心在原点,半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.1.3平面点集平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:

2、z-z0

3、

4、z-z0

5、

6、一个开集;2)D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.例4:区域不是区域(不是开集)不是区域(不连通)如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足

7、z

8、

9、z

10、>M1.3.2曲线在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组x=x(t),y=y(t),(atb)代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t)(atb)来代表.这就是平面曲

11、线的复数表示式.1.简单曲线,简单闭曲线设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足a

12、带有裂痕,漏洞)1.4复变函数1.4.1复变函数的概念(实变函数在复数范围内的推广)单值函数,多值函数定义在整个复平面上的多值函数定义在除原点外整个复平面上的单值函数则两类常见的复变函数1.4.2复变函数的几何解释—映照几何意义:DG设函数w=z2=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,有u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w11.5初等函数介绍几种常见的复变函数—指数函数,对数函数,幂函数,三角函数1.5.1指数函数则求得(欧拉公式)复指数函数性质:电源此电路系统满足叠加原则.电源电流当电路系统稳定后,电路中的电压,电流变化的频率最终

13、与电源频率相一致.电容:对应的等效电阻为电感:对应的等效电阻为整个电路的总电阻为:1.5.2对数函数定义：记：多值性-------主值例如：性质:证明:1.5.3幂函数定义:为z的幂函数.…单值函数….n值函数….n值函数….无穷值函数1.5.4三角函数定义:(1)各种三角恒等式仍然成立性质:例如:(3)类似地,可以定义其他三角函数及它们的反函数.