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1、高等数学(下)习题解答胡世凯高等数学(下)习题解答胡世凯四川大学数学学院2007/6/61高等数学(下)习题解答胡世凯大学数学(I)微积分---2复习提要1．二次曲面和方程2．多元函数的定义，连续，可微，偏导存在，偏导连续之间的关系3．隐函数的偏导数（一阶及二阶）4．方向导数、梯度和散度的定义及计算公式5．多元微分学的几何应用6．多元函数的极值（包括条件极值）7．函数的奇偶性，积分区域对称性与二重积分计算的关系，二重积分的几何意义，三重积分（利用柱面坐标和球面坐标）的计算8．两类曲线积分计算、格林公式、曲线积分与路径无关的条件,利用高斯公式计算曲面积分9．正项级数、交错级数的敛散性、绝对
2、收敛、条件收敛10．函数展开成幂级数（间接法），傅立叶级数的收敛定理11．一阶微分方程计算、二阶常系数线性方程的解与特征方程的关系2高等数学(下)习题解答胡世凯向量及其运算一、填空题：42631．设a={3,2,1},b={2,,k}.若a^b,则k=-;若a//b,则k=.33232.已知三点坐标A(3,1,2),B(1,-1,1),C(2,0,k).若A,B,C共线，则k=.2p3．已知
3、a
4、=2,
5、b
6、=3,夹角áa,bñ=,则
7、2a-b
8、=13.3444.a=2i-j+3k,b=i+3j-k,则
9、2a-b
10、=83,Projba=-,cosáa,bñ=-.111545.设(a´b)
11、×c=2，则[(a+b)´(b+c)]×(c+a)=4.6766.平行于矢量a={6,-7,6}的单位矢量b=(,-,).1111117.设a={2,1,2},b={4,-1,10},c=b-la，且a^c，则l=3.二、计算题：p1．已知单位向量P0与x轴、y轴的交角为，与z轴的夹角为钝角，又a=2j-k,试计算：①P0×a；②3P0´a；③(P0´a)×(2P0-3a).pp22pp112r解：单位向量P0=(cos,cos,-1-cos-cos)=-(,,),a=-(0,2,1),3333222r1122所以①Pa×=(,,-)×(0,2,-1)1=+；02222122111r11
12、2--11②Pa´=(,,-)´(0,2,-1)=(22,22,22)=(-+2,,1)；0222222--11002rrrrr③(P´a)×(2P-3a)=2(P´a)×P-3(P´aa)0×=.000002.设a,b,c均为非零向量，且a=b´c,b=c´a,c=a´b,求
13、a
14、+
15、b
16、+
17、c
18、.解：根据已知条件，向量a，b，c两两相互垂直,且长度都为1，所以
19、a
20、+
21、b
22、+
23、c
24、=3.uuurrruuurrruuurrr3.若AB=+ab5,BC=-+28ab,CD=-3()ab,试证：A，B，D三点在同一直线上.uuuruuur证明：只需证向量AB,AD为共线.通过计算有uuur
25、uuuruuuruuurrrrrAD=AB+BC+CD=2a+10b=+2(ab5)rrrp
26、a+-xba
27、
28、
29、4.设a,b为非零向量，
30、b
31、=2,áa,bñ=,求lim.3x®0x解：rrrrrrrr2r2r22rrr2
32、a+xb
33、
34、-a
35、2(a+xb)×()a+-xbaa+xb+xa×-balim==limlimx®0xxx®®00xxr2rrrrxb+22a××babrrrpp=lim=r=
36、b
37、cosáab,2ñ=´=x®0r22r22rrr
38、
39、a33a+xb+2xa×+ba3高等数学(下)习题解答胡世凯urrurrpuuururruuururr5.已知设
40、m
41、=5,
42、n
43、=3,
44、m与n的夹角为设,AB=m+2n,AD=-mn3.6uuuruuur求以AB,.AD为边的平行四边形的面积uuuruuuruuuruuur解：求以AB,.AD为边的平行四边形的面积可以看成计算的AB´AD模uuuruuururrurrurrrururrAB´AD=(m+2n)´(m-3n)=-3m´n+25n´m=-´mnuuuruuururrurrp175
45、AB´AD
46、=5´
47、m´n
48、=5×
49、mn
50、×
51、
52、×sin=5××53×=622rrrrrrrrrr6.若矢量a+3b垂直于7a-5b,且矢量a--4b垂直于7a2,b求ab与的夹角.rrrrrrrr根据已知,(a+3b)×(7a-5
53、b)=0,(a-4b)(×7ab-=2)0,即有r22rrrrì7a+16a×b-150b=ì7×kk2+16×cosq-=150
54、
55、aïïíírrrrÞ=()kr222ï7a-30a×bb+=80ïî7×kk-30cosq+=80
56、
57、bî解：1二者相减可得46×kkcosq-23=0,Þ=所以2cosq11212pp7×()+16××cosq-15=0Þcosq=±Þqq==或舍()去2cosqq2cos233rrrurrr已知三
