高数习题集册答案解析1

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1、范文范例参考习题1.1A(P15)提示(仅供参考)1.用定义(语言)证明:(1)证明:,故对,欲使,只需,即。故对,取(注意:不能写成,以下几个类似),当时有故(2)证明:,故对,欲使,只需,即。故对,取,当时有故(3)证明:,故对,欲使,只需,即。故对,取当时有word版整理范文范例参考故(4)证明:,故对,欲使,只需,即。故对,取当时有故(5)证明:,故对,欲使,只需,即。故对,取当时有故(注意:若用夹逼法:)(6)证明:,注意到,故,,欲使,只需,即。word版整理范文范例参考故对,取当时有故(注意:若用夹逼法:)2.证明:的充分必要条件是对,只有的有限多项不在中。证明:(必要性)

2、若,则,,时有,故至多有项在不再中。(充分性)对,只有的有限多项不在中,不妨设不在中项为,取(即取不在中项脚标的最大者,故当时有,即。4.证明若,则。反之不一定,举例说明。但若,则有证明:由,有对,,时有,故对,取时有,故。反之不一定,例数列。由,有对,,时有。故对,取时有,故5:证明设,,证明5:证明设,,证明word版整理范文范例参考证明若,由,有对,,时有故对,取,当时有故若,则由极限的保号性得。由,有对,,时有故对,取,当时有故6证明:若,有界,则证明:有界,故可设由,有对,,时有故对,取当时有,故。7.若是否一定有或。解:否。例,8(1)设,均收敛,问是否必然收敛。解:否,例。

3、(2)设,满足,则。word版整理范文范例参考证明:由,则有对,,时有,则有对,,时有故对,取(注意不能取,当时有,故。(3)设,,收敛,这时能否保证一定收敛?解:能。不妨设,由有,故即,故由8(2)一定收敛.9证明:若单调数列有收敛子列,则证明:不妨设是单调增的。设子列(也是单调增的)收敛于,从而对,,时有对,取,当时有,故10.求极限(1)解(2)解(3)word版整理范文范例参考解:(公式(4)解:,故(5)解由,有word版整理范文范例参考(6)解由,有(7)解11求下列极限(夹逼法)(1)解,又,故(2)见学习辅导“例12(2)”(3)解,又(4)解,word版整理范文范例参考

4、又,故12设令都是非负实数,证解:不妨设,则。,故13求(必须先证明存在性再设),其中(1)见学习辅导“例22”(2),解:有界性:,设,则单调性:显然,设,则求极限:设,由取极限得,解出(3)见学习辅导“例25”(4),解有界性:单调性:word版整理范文范例参考,若,则,否则求极限:设,由得,故。15试判断数列的敛散性:(1),其中;解欲使,只需故对,取,当时,对都有即是基本列,故收敛。(2)证明:故是单调增的。又故也是有界的,故存在,设为。,故word版整理范文范例参考由习题1.1(A)8(2)知道收敛。(3)证明:,对,取,则有故不是基本列,则发散。(4)解取,对,存在,且满足故

5、从而这说明不是基本列,故发散。16设,且,则证明:对,由知使得当时,故对,取,当时,故17.求极限(1)(2)(3)word版整理范文范例参考(4)习题1.1(B)1O.Stolz公式(1)设,且严格减。若,则证明:(A)若,对,则存在使得当时,即从而当时······把上式不等式相加的其对成立又,故当时由得当时有故对,取,当时有即word版整理范文范例参考从而。(B)若,则。由,故对,存在,当时有,即,从而存在,当时有,即严格递减的,故由可得,即(C)若,令,利用(B)可证明。(2)严格增,且,若,则证明:(A)若,则,令,即,故对,则存在使得当时由得得(使用迭代)即两边除以,再同时减去

6、得word版整理范文范例参考故当时又,则存在使得当时对,取使得当时故(B)若,则。由,故对,存在,当时有,即故严格增的,再由得,从而时,,从而由(A)得,故(C)若,令,利用(B)可证明。2设证明(1)证明利用O.Stolz公式(2)只需令,,则word版整理范文范例参考故。或利用定义直接证明。(2)讨论时(1)中的结论。证明:利用O.Stolz公式可得,或均成立。但,不成立,例,故时O.Stolz公式也不成立。(3),其中证明:,由保号性可得故(当,时)故,故(4),其中证明:见附录参考答案及提示。3设,证明证明:设,故利用习题1.1(B)2(4)可得又,故,注意到,可得word版整理

7、范文范例参考4.设收敛,证明证明:(微积分学习辅导P6例11(4))设,则有5.若,证明证明令,,则,,利用故利用习题1.1(B)2(1)可得又,故,从而同理利用习题1.1(B)2(1)可得又,故。易知,故。6.若证明证明见(微积分学习辅导P6例11(2))即令,,,对前项应用题1.1(B)2(1).7.证明word版整理范文范例参考证明:见(微积分学习辅导P17例19(2))令,再利用习题1.1(B)2(4)可证明。8.求下列极限

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