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1、3.8函数的最大值 与最小值（二）yyyy年M月d日星期利用导数求函数的最值步骤:设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，那么求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值，最小值的步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.复习回顾最大值最小值定理:在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点。黄冈中学网校达州分校有关函数最
2、大值和最小值的应用题在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求函数的最大值和最小值问题.黄冈中学网校达州分校例1在边长为60cm的正方形铁皮的四角分别截去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，问箱底边长为多少时,箱子容积最大，最大容积是多少？6060xxxx例题解析黄冈中学网校达州分校解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积．令解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最
3、大，最大容积是16000cm3黄冈中学网校达州分校解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积（后面同解法一，略）事实上，可导函数在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值.黄冈中学网校达州分校注：在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个极值点的情况，如果函数在这一点有极大值或极小值，那么不与端点值比较，根据实际意义也可以知道在这一点处取得的是最大值还是最小值.如果函数在一个开区间内有唯一的极值点，则函数在这个点的函数值肯定是函数
4、的最值.黄冈中学网校达州分校例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高和底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？hR解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2S(R)=2πR+2πR2=+2πR2由V=πR2h，得，则黄冈中学网校达州分校即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大？黄冈中学网校达州分校分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产
5、量q的函数关系式，而后再利用导数求最大利润.利润解：收入令即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大黄冈中学网校达州分校例4、某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?分析：在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最
6、值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.黄冈中学网校达州分校解法一：设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大.依题意,得y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］=-6x2+108x+378=-6(x-9)2+864(1≤x≤10),显然,当x=9时,ymax=864(元),即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元黄冈中学网校达州分校解法二：由上面解法得到y=-6x2+108x+378.求导数,得y′=-12x+108.令y′=
7、-12x+108=0,解得x=9.因为x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.黄冈中学网校达州分校1、函数f(x)=sin2x－x在［－,］上的最大值为_____；最小值为_______.2、将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.3、使内接椭圆=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____.练习4、有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去
8、的小正方形的边长应为多少？剪去的小正方形的边长应为1，容积V取最大值为18.黄冈中学网校达州分校5、当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细
