2012届高三数学第一轮复习 第2编 13定积分与微积分基本定理课件 新人教B版.ppt

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1、学案13定积分与微积分基本定理考点1考点2填填知学情课内考点突破规律探究考纲解读考向预测考点3考点4考点5返回目录定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.(2)了解微积分基本定理的含义.考纲解读返回目录考向预测在高考中出现的题目应属于容易题，考查定积分的简单应用(如求曲线围成的面积、力做的功等）的可能性较大.返回目录1、定积分的定义设函数y=f(x)定义在区间［a,b］上.用分点a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b.把区间［a,b］分为n个小区间，其长度依次为Δxi=xi+1-xi,i=

2、0，1，2,…,n-1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作和式In=.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫作函数f(x)在区间［a,b］上的定积分,记作,即=lim.其中f(x)叫作,a叫,b叫，f(x)dx叫作.2、定积分的几何意义设函数f(x)在区间［a,b］上连续，定积分在几何上表示界于x轴、曲线y=f(x)及直线x=a、x=b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取，在x轴下方的面积取.返回目录λ→0被积函数积分下限积分上限被积式正号负号返回目

3、录3、定积分的性质1.定积分的线性性质=（k为常数），=.2.定积分对区间的可加性=++(a＜b＜c).4、微积分基本定理设f(x)在［a,b］上连续，F（x）是f(x)的任意一个原函数，即F′(x)=f(x)，那么=.这个公式也叫牛顿—莱布尼兹（NewtonLeibniz）公式.这个公式把积分和微分这两个不同的概念联系起来，从而把求定积分的问题转化为求f(x)的原函数的问题.F(b)-F(a)返回目录考点1利用微积分定理求定积分计算下列定积分:(1)［2010年高考湖南卷］dx；(2)x(x+1)dx;(3)（e2x+）dx.返回目录【分析

4、】求出被积函数的原函数,用微积分基本定理进行求解,计算f(x)dx的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x).其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到.【解析】(1)∵dx=lnx=ln4-ln2=ln22-ln2=2ln2-ln2=ln2.(2)∵x(x+1)=x2+x且（x3）′=x2,（x2）′=x,∴x(x+1)dx=(x2+x)dx=x2dx+xdx=x3+x2=（×23-0）+（×22-0）=.返回目录(3)∵(lnx)′=,(e2x)′=e2x·(2x)′=2e2x,得e2x=（e2x）′,∴（e2x+dx）=e

5、2xdx+dx=e2x+lnx=e4-e2+ln2-ln1=e4-e2+ln2.返回目录计算一些简单的定积分，解题的步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用微积分基本定理求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值.返回目录求下列定积分:(1)(2x-3x2)dx;(2)sin2dx;(3)(x+)dx.(1)(2x-3x2)dx=2xdx-3x2dx=x2-x3=-18.(2)sin2dx

6、=dx=dx-cosxdx=x-sinx=.返回目录(3)(x+)dx=xdx+dx=x2+lnx=+ln2.返回目录返回目录考点2分段函数的定积分计算下列定积分:(1)

7、sinx

8、dx;(2)

9、x2-1

10、dx.【分析】对于第(1)小题,应对在区间［0,2π］上的正、负进行分情况计算；而对于第（2）小题，在0≤x≤2的条件下，对x2-1的正、负情况进行讨论.【解析】(1)∵(-cosx)′=sinx,∴

11、sinx

12、dx=

13、sinx

14、dx+

15、sinx

16、dx=sinxdx-sinxdx=-cosx+cosx=-(cosπ-cos0)+(cos2π-

17、cosπ)=4.返回目录(2)∵0≤x≤2,x2-1(1≤x≤2)1-x2(0≤x≤1),∴

18、x2-1

19、dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx=(x-x3)+(x3-x)=(1-)+(×23-2)-(-1)=2.返回目录∴

20、x2-1

21、=(1)含绝对值的函数实际上就是分段函数.(2)分段函数在区间［a,b］上的定积分可分成几段定积分和的形式,分段的标准就是分段函数的标准.返回目录x3x∈［0,1］x2x∈(1,2］2xx∈(2,3］在区间［0,3］上的积分;(2)计算:dx.返回目录(1)求函数f(x)=(1)由积分性质知f(x)dx=f(x)

22、dx+f(x)dx+f(x)dx=x3dx+x2dx+2xdx=++==.返回目录返回目录(2)当x∈[0,]时,=

23、sinx-cosx

24、-sinx+