关于两堂“变化率问题”课的思考.doc

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1、关于两堂“变化率问题”课的思考本次课题硏讨会中安排的两节“变化率问题”课的教学设计差别很大，出现的问题也不少，因此引发了很多争论。下而，就三个方而谈谈对本课的思考。1.教学内容的安排在教科书中，“3.1变化率与导数”划分为两部分“3」」变化率问题”和“3.1.2导数的概念”，建议4课时。教师甲的教学内容就是“3.1.1变化率问题”，即平均变化率及其几何意义；教师乙的教学内容是“3.1.1变化率问题”和“3.1.2导数的概念”中的瞬时变化率。研讨的时候，大多数老师认为，教师乙的教学内容安排比较好，一是内容比较丰满，二是展现了从平均变化率到瞬时变化率的完整过程。如果教学设计做得好，那么从平均变化

2、率到瞬时变化率会是一堂非常精彩的课。因为，这个知识本身的内涵就很丰富，而且教学设计的变化点也很多。相比之下，如果一堂课只是讲平均变化率及其几何意义，似乎就会单薄、逊色很多，特别是公开课的时候。但是，如果放大这两节课的一个共同点，即使只有平均变化率及其儿何意义这个知识点，这堂课也能收到满意的效果。这个共同点，就是两位老师不约而同都提到的微积分的发展史，只是，他们对微积分发展史的介绍过于简单和粗糙，上完课,学生可能对此一点印象都没有留下。我们总是说，要让学生接受数学文化的熏陶、体会数学的价值，但是在课堂上，却做得很少「像微积分这样有文化底蕴的数学内容,为什么不抓住这绝好的时机介绍它的发展史呢,更

3、何况是在引入微积分的时候。在这里，发展史的介绍不仅仅是文化上的熏陶，还有更多的作用，比如了解微积分的概貌及其在数学中的位置；相关数学家的工作，既能让学生看到智慧之光，又能让学生从两千年的艰辛历程中明白即使在学习中有些困惑疑难也并不奇怪，坚持思考是通向成功之门的钥匙；有关微积分起源的具体例子的列举，像计算抛物线弓形的面积（建筑物的上顶）、求速度的问题（高台跳水）等，会引发学生的求知欲。所以，精心组织微积分发展史的素材，融入到本课教学内容中，应该是微积分起始课的“当然任务”o在教学设计中需要注意，历史的介绍应该是生动有趣的，有中心、有问题、有事例、有思考等。例如，微积分起源于四类问题，如果用具体

4、的例子进行说明，学生就会比较有感觉,而不会太空洞，像起源问题之一的运动速度就可以选用教科书中的高台跳水例子辅助说明。同时，借助于这个例子还可以从历史的介绍自然地过渡到变化率的学习上，如此一来，历史的介绍和数学知识的学习就结合为一个整体。在这种设计下，也不必顾虑是否这节课的数学知识太少了，因为并不是侮一堂数学课都要有那么紧凑的数学知识，不同类型的数学课承担的作用应该有所不同，像微积分的起始课，就应该承担起以上所说的那些作用。1.气球膨胀率的问题气球膨胀率和高台跳水是变化率问题中的两个例子，由它们抽象概括出了平均变化率的数学定义。比较一下这两个例子，髙台跳水体现了微积分中的经典问题即速度问题，而

5、且教科书直接给出了高度和时间的函数关系式，学生对速度问题又很熟悉，所以这个问题是比较简单的；气球膨胀虽然也是学生非常熟悉的生活现象，但是从这种直观的生活感知（气球越来越难吹）到它的数学描述，是很不容易的，因此，这个问题是比较困难的。这一点，从这两堂课也可以得到印证。不过，如果细想一下，气球膨胀率这个问题还是非常有意思的。它的慕础是学生熟悉的，即每个学生都吹过气球，都有这种感受：越来越难吹。那么，如何从数学上说明气球越來越难吹呢？解答问题的过程需要学生具有一定的将实际问题抽象成数学问题的能力，或者说通过解答这个问题，可以培养学生“数学化”能力。而问题的指向，即其中包含的数学知识，就是本堂课的知

6、识点一一平均变化率。教学中的难点，就是如何帮助学生将实际问题抽象成数学问题。这两堂课，在“抽象”这一点上做得都不成功。首先，从数学上说明气球越来越难吹这个问题可以让学生自由地去思考，但是，教师并没有提供这个机会，所以，我们不知道学生会想到什么，这是非常可惜的。从实际问题抽象到数学问题，有这样四个层次：（1）“气球越来越难吹”是一个运动变化的过程，这种变化涉及到吹进去的气体，即气球空气容量（体积），还涉及到气球的膨胀，即气球半径，这从如右所示的平面图中可以清楚地看出来。（2）“气球越来越难吹”实际上就是当气球膨胀的增长量相同时，需要吹进去的气体会越来越多；也可以解释为，当吹进去的气体相同时,气

7、球膨胀越来越慢，即气球半径的增加量越来越小。（3）如果从数学上说明，那就是写出气球中空气容量（体积）和气球半径的关系式，然后计算一下，看看是否如此。（4）选择（2）中两个解释角度中的一个，教科书选择的是后者，于是写出气球半径厂和气球体积V的关系,然后计算比值M的具体数值。事实上，这里的就是平均膨胀率。气球膨胀图如何充分发挥这个例子的作用呢？教师乙的做法给了我们一点启发，即调整教科书对于这个例子的安排。就用高台