《多元函数基本概念》PPT课件.ppt

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1、第一节多元函数的基本概念预备知识多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性小结思考题作业functionofmanyvariables1一、预备知识1.平面点集n维空间回忆一元函数平面点集n维空间实数组(x,y)的全体,即建立了坐标系的平面称为坐标面.坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作(1)平面点集二元有序多元函数的基本概念2邻域(Neighborhood)设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,几何表示：Oxy.P0多元函数的基本概念令有时简记为称之为将邻域去掉中心,注称之为去心邻域.3(1)内点显然,E的内点属于E.多元函数的基本概念(2)外点如果存在点P

2、的某个邻域则称P为E的外点.(3)边界点如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.任意一点与任意一点集之间必有以下三种关系中的一种:设E为一平面点集,若存在称P为E的内点.E的边界点的全体称为E的边界,记作使U(P)∩E=,4聚点多元函数的基本概念如果对于任意给定的点P的去心邻域内总有E中的点则称P是E的聚点.例如,设点集(P本身可属于E,也可不属于E),则P为E的内点;则P为E的边界点,也是E的聚点.E的边界为集合5平面区域设D是开集.连通的开集称区域多元函数的基本概念连通的.如对D内任何两点,都可用折线连且该折线上的点都属于D,称开集D是或开区域.如都是区域

3、.开集若E的任意一点都是内点,例称E为开集.E1为开集.结起来,6开区域连同其边界,称为有界区域否则称为多元函数的基本概念都是闭区域.如总可以被包围在一个以原点为中心、适当大的圆内的区域,称此区域为半径(可伸展到无限远处的区域).闭区域.有界区域.无界区域7OxyOxyOxyOxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区域无界闭区域多元函数的基本概念8n元有序数组的全体n维空间中的每一个元素称为空间中称为该点的第k个坐标.n维空间中两点的距离定义为n维空间中点记作及的邻域为(2)n维空间多元函数的基本概念n维空间.称为即的一个点,9二、多元函数的概念1.二元函数的定义例理想气体的状态方程是称p为

4、两个变量T,V的函数,其中(1)定义如温度T、体积V都在变化,则压强p依赖多元函数的基本概念(R为常数)其中p为压强,V为体积,T为温度.于T,V的关系是10按着这个关系有确定的点集D称为该函数称为该函数的则称z是x,y的定义1若变量z与D中的变量x,y之间有一个依赖关系,设D是xOy平面上的点集,使得在D内每取定一个点P(x,y)时,z值与之对应,多元函数的基本概念记为称x,y为的数集二元(点)函数.称z为自变量,因变量,定义域,值域.11二元及二元以上的函数统称为(2)多元函数定义域定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.记为函数在点处的函数值多元函数的基本概念或类似,可定义n元函数.多

5、元函数.实际问题中的函数:自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义的12例求下面函数的定义域解Oxy无界闭区域多元函数的基本概念即定义域为13解Oxy定义域是有界半开半闭区域多元函数的基本概念142.二元函数的几何意义研究单值函数二元函数的图形通常是一张多元函数的基本概念曲面.15的图形是双曲抛物面.多元函数的基本概念如,由空间解析几何知,函数的图形是以原点为中心,R为半径的上半球面.又如,最后指出,从一元函数到二元函数,在内容和方法上都会出现一些实质性的差别,而多元函数之间差异不大.因此研究多元函数时,将以二元函数为主.1617的图形是双曲抛物面(马鞍面).它在xOy平面上

6、的投影是全平面.17三、多元函数的极限讨论二元函数怎样描述呢?Oxy(1)P(x,y)趋向于P0(x0,y0)的回忆:一元函数的极限路径又是多种多样的.注多元函数的基本概念方向有任意多个,Oxy18(2)变点P(x,y)这样,可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义.多元函数的基本概念总可以用来表示极限过程:与定点P0(x0,y0)之间的距离记为不论的过程多复杂,19记作多元函数的基本概念定义2有成立.的极限.设二元函数P0(x0,y0)是D的聚点.的定义义域为D,如果存在常数A,也记作20说明(1)定义中(2)二元函数的极限也叫多元函数的基本概念(doublelimit)的方式是任

7、意的；二重极限.21例2求证证当时，原结论成立．22相同点多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要定义相同.差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,多元函数的基本概念相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.23确定极限关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.多元函数的基本概念不存在的方法则可断言极限不存在;若极限值与k有关,(1)