模4整数加群,元素的阶(4)Klein四元群G={e,a,b,c}(5)群中元素的阶2021/7/224群的性质(消去律)定理10.2:设是一个群,对于任意的a,b,c∈G,如果有a*b=a*c或者b*a=c*a,则必有b=c(消去律)。2021/7/225群的等价定义定义:满足(1),(2)及消去律且不含零元的有限代数系统是群,即满足消去率且不含零元的有限半群做成群。(1).运算*是封闭的(2).运算*是可结合的aG={ag
9、g∈G}=G群的
10、性质例10.5设G={a1,a2,……,an}是一个n阶群,令aiG={aig
11、g∈G},则aiG=G。证:由群中运算满足封闭性有aiGG。若aiGG,即
12、aiG
13、中,如果存在a∈G,有a*a=a,则称a为幂等元。2021/7/228有限半群必存在幂等元性质:设是一个半群,如果S是一个有限集,则必有a∈S,使得a*a=a.思路:(构造法)b∈S,由S
14、对*封闭及S有限,则对序列b,b2,b3,…,bn,…必定存在j>i,s.t.bi=bj,令p=j-i≥1,有bj=bp*bi,即bi=bp*bi.2021/7/229泵原理b0b1b2b3b4b5=b19=b33=…b6=b20=b34=…b7=b21=b35=…b8=b22=b36=…b15b9b10b11b14b16b172021/7/2210幂等元构造bi=bp*bi.bi=bkp*bibq=bkp*bq,其中q=kp*b*b*…*b*b*b*…*bbi=bp*bi=bp*(bp*bi)=……
15、=bp*……*bp*(bp*bi)bi=bkp*bi,可找到k使得kp≥i设a=bkp,则a*a=a2021/7/2211证明性质:设是一个半群,如果S是一个有限集,则必有a∈S,使得a*a=a.证明:(构造法)b∈S,由S对*封闭及S有限,则对序列b,b2,b3,…,bn,…必定存在j>i,s.t.bi=bj,令p=j-i≥1,有bj=bp*bi,即bi=bp*bi,且可知对任给的q≥i有bq=bp*bq。因为p≥1,所以总可找到k≥1,s.t.kp≥i。因此对于S中的元素bkp,有bk
16、p=bp*bkp=bp*(bp*bkp)=...=bkp*bkp.设a=bkp,则a∈S,且a*a=a2021/7/2212群中元素的性质定理10.3G为群,a∈G,且
17、a
18、=r,则(1)ak=e⇔r
19、k(2)
20、a
21、=
22、a-1
23、(3)若
24、G
25、=n,则r≤n.证(1)充分性.ak=arl=(ar)l=el=e必要性.k=rl+i,l∈Z,i∈{0,1,…,r-1}⇒e=ak=arl+i=ai⇒i=0⇒r
26、k(2)(a-1)r=e⇒
27、a-1
28、存在,令
29、a-1
30、=t,则t
31、r.同理r
32、t.(3)假设r>n,
33、令G={e,a,a2,…,ar-1},则G中元素两两不同,否则与
34、a
35、=r矛盾.从而
36、G
37、>n,与G⊆G矛盾.2021/7/2213群中幂等元唯一例:在群中,除单位元e外,不可能有任何别的幂等元(即a*a=a)证:e*e=e,∴e为幂等元现设a∈G,a≠e且a*a=a则有a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1*a=e2021/7/2214元素的阶的性质(1)例:G为群,a∈G,
38、a
39、=r,证明
40、at
41、=r/(t,r)证:令
42、at
43、=s,设(t,r)=d,t=dp,
44、r=dq,r/(t,r)=r/d=q只要证s=q(at)q=(at)r/d=(ar)t/d=ep=es
45、q(at)s=e⇒ats=e⇒r
46、ts⇒q
47、psq
48、s(p,q互素)2021/7/2215元素的阶的性质(2)例10.7:G为有限群,则G中阶大于2的元素有偶数个。证:a2=ea2=a-1aa=a-1,所以阶大于2的元素必有aa-1,且成对出现。2021/7/2216元素乘积的阶例:G为群,a,b∈G且可交换,
49、a
50、=m,
51、b
52、=n,若(m,