2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大（小）值与导数学案新人教A版.docx

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1、1．3.3　函数的最大(小)值与导数　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值(1)能够取得最值的前提条件：在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线．(2)函数的最值必在极值点或端点处取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一

2、个是最大值，最小的一个是最小值．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值包含以下两点(1)给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值．常见的有以下几种情况：图①中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；图②中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；图③中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值又无最小值；图④中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．(2)函数f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断是f(x)在[a，b]上存在最大值和最小

3、值的充分不必要条件．如函数f(x)＝的图象(如图⑤)在[－1，1]上有间断点，但存在最大值和最小值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值不一定是函数的极大值．(　　)(2)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．(　　)(3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上(　　)A．无最值　　　　　　　B．有极值C．有最大值D．有最小

4、值答案：A函数y＝x3－3x＋3在区间[－3，3]上的最小值为(　　)A．1B．5C．21D．－15答案：D函数f(x)＝的最大值为________．答案：探究点1　求函数的最值　求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0，2π]．【解】　(1)因为f(x)＝2x3－12x，所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8；所以当x＝时，f(x)取得最

5、小值－8；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝π或x＝π.计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，f＝π－.所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.求函数最值的步骤第一步：求函数的定义域．第二步：求f′(x)，解方程f′(x)＝0.第三步：列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．第四步：求极值、端点处的函数值，确定最值．　　1.函数f(x)＝(x∈[－2，2])的最大值是_____

6、___，最小值是________．解析：因为f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.又因为f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－，所以f(x)在[－2，2]上的最大值为2，最小值为－2.答案：2　－22．求函数f(x)＝的最值．解：函数f(x)＝的定义域为x∈R.f′(x)＝＝，当f′(x)＝0时，x＝2，当f′(x)>0时，x<2，当f′(x)<0时，x>2.所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(

7、2)＝.探究点2　含参数的最值问题　已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值．【解】　由f(x)＝ex－ax2－bx－1，有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.因此，当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥时，g′(x

8、)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；当