相似矩阵的证明方法探析.pdf

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1、学术交流投稿邮箱：wysjzzs@sohu．corn相似矩阵的证明方法探析郭志军辽宁对外经贸学院【摘要】通过相似矩阵与对角阵与非对角阵之间相似的证明方法的探析，使问题得以归类，对不同情况下矩阵相似的证明进行讨论【关键词】相似矩阵；对角阵；证明方法引言与对角阵相似。^一AA，～0，即、墨。矩阵相似理论是大学课程《线性代数》证：3．2证两矩阵均与对角阵相似，且其特里面重要概念之一，同时也是教学中较为难i)令的特征多项式为}，则：征值一致。处理的问题，特别是矩阵相似与对角矩阵t-IE一卅一++吗例5：和非对角阵相似问题的证明方法。下面对这其中、卟I．q—t

2、0，又设的两个特征值设”阶矩阵，B都有个互异特征值，且两个问进行研究，使它们之间的知识融会贯为‘，皇，由韦达定理知：这两组特征值一致，证明A—。通，有利于学生的掌握和应用。：，{五-I『《o证：1．相似的定义与性质故也与忍异号。因而的两个特征值互由题设可知，B均与对角阵相似，不妨设1．1相似定义异，故可对角化，即与对角阵相似。《～A，一。、：，又因对角阵A与A：的对角元素相设，别匀是，z阶矩阵，如果存在可逆矩2)A的特征多项式^}=，一扣6tl同，仅是排列次序不同，故．一A，从而～口。阵P使

3、DAB-占，则称矩阵是A的相似矩阵，因b一2，，}^J的判

4、别式一40例6：或称矩阵与占相似，记作～B。故有两个不等的非零实特征值，从而设矩阵：1．2相似性质与对角阵相似。32一此(1)反身性：—。2．3计算矩阵的特征值。如果的特征A}一一1k}(2)对称性：若～，则B～。值互异，当然与对角阵相似。如果有重特征t4：一3}(3)传递性：若～，B～C，则～c。值，可通过计算特征矩阵L,E—A的秩来判定是问当k等于何值时，存在可逆矩阵P，使定理l若H阶矩阵与别召似，则与雪的特否与对角阵相似。得,iP。A?并求出P和相应的对角矩阵。征多项式相同，与的特征值亦相同。引理：，l阶矩阵与对角矩阵相似的充要条解：相似矩阵的

5、其它性质：件是对于每个毛重特征值^，特征矩阵一A由：(1)相似矩阵的秩相等；的秩是n吐，即：(2)相似矩阵的行列式相等；麸0一I}=一墨．一一j：-2一一f=e—一I(3)相似矩阵具有相同的可逆性，当它侈03：们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。10o11oo；定理2阶矩阵与对角矩阵相似的充分必判男搪阵罩0l0；与矩醇丑020f是否捆似。『一÷一l=t一，，：；。要条件为矩阵有个线性无关的特征向量。jo02；lo0l；1霉i一一1一。注：定理的证明过程实际上已经给出了把解：‘—‘1日寸方阵对角化的方法。的特征值为：=五；l，一2，42一42—2推论1若H

6、阶矩阵有一个相异的特征值，则因而：焉=2，=1一_n一；。≈一；一≈。：与对角矩阵相似而：{42～00*)对于H阶方阵，若存在可逆矩阵尸，为对秣t￡-Bj=t=一t一3-'2显然当k=O时，剥一一l，对应的特角阵，则称方阵可对角化。秣I南E—s}=2=一=3-l征向量为：定理3"阶矩阵可对角化的充要条件是对于是秩{t0—1=1一一蕾ff=l2I3}／-1应于的每个特征值的线性无关的特征向量的故8一A。f：i0；0：}个数恰好等于该特征值的重数。即设是矩阵A2．4除了证明与对角阵，哇相似外，还要求出．的重特征值。．P，使z．P：A，这时必须求出或知道特

7、征向量。当。时，2．与对角阵相似的证法如果，l阶矩阵有，1个线性无关的特征向{22—2to—A—i．E。{一2≈010矩阵A与对角阵相似，称为矩阵可对角量，则A—A，否则不与相似。化。能否与对角阵相似，分以下四种情况。当与对角阵相似时，求A与可逆矩阵p2．1不计算矩阵的特征值和特征向量，使p-AP—A的步骤如下：对应的特征向量为只需证明使AP。A成立的叫存在。(1)先求，哇的个特征值，设为．一；例l：若阶矩阵可对角化，则、也(2)分别求出的对应于硼q特征向量：=0可对角化(为常数)。l瓯(f一1：2{；{2证：因A可对角化，故存在可逆阵，使：(3)作

8、对角阵A一，蟮{t．，^‘^．i；露避喜缸0酵奇一蝎-端织‘一)(4)按照‘一：-．A的顺序把属于它们的特-tj：!P：00其中·．，j的特征值，对上式征向量作为列向量，作可逆矩阵：021取转置，得：P一{啦乌’％]．．．gL．／钕r-岫．^。z．)就得到：f一i00}、’．即：f-柳五．^．-^APA2-~Ap=0一{0令7一P，显然尸可逆，且有：即：一^{802{．，p-AP—d矗：一^。)3．与非对角阵相似的证法解此类问题关键分析A应有二重特征值，并故A可对角化。同样方法可证也可对3．1用定义证明且二重特征值需对应两个线性无关的特征向量，角化。

9、例4：设同阶矩阵，B均与对角阵相似，从而一}～。确定k，这是十分关键的一步。2．2不计算矩阵的特征值，只需证