微分中值定理证明方法的思考.pdf

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1、教改教法微分中值定理证明方法的思考程怔村(北京_T-商大学理学院数学系北京100048)中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：1672—7894I2014)30-0038-02摘要高等数学的教材是以罗尔定理为基础，通过引进在证明定理之前先分析一下这个定理的几何意义，从适当满足罗尔定理的辅助函数去证明拉格朗日中值定理和而引出证明定理的方法。柯西中值定理。本文将讨论如何构造辅助函数去证明拉格假设函数)在闭区间，b]k的图形是连续光滑的曲朗日中值定理和柯西中值定理。此外，本文还给出了证明微线弧。注意到丛=是连接点Aa

2、(n))和B(b,f分中值定理的另外一种方法：辅助定理法。(6))点的弦4的斜率，而_厂’()是弧庙上某点c())关键词拉格朗日中值定理柯西中值定理罗尔定理辅助函数处的切线斜率。因此，定理的几何解释是：在弧上至少有PonderingonMethodstoProvetheDiferentialMean一点C，曲线在C点的切线平行于弦AB。ValueTheorem／／ChengCun弦AB的方程是y。)：(一)，AbstractInadvancedmathematicstextbooks，itisbasedonthe目口

3、，'，：f(。)+(一。)RolleTheorem，byintroducinganappropriateauxiliaryfunctionthatsatisfiestheRolleTheoremtoprovetheLagrangeMeanVal-显然，它在闭区间a，6】上连续，在开区间(atb)内可导，ReTheoremandtheCauchyMeanValueTheorem．Thispaper其导数就是弦A日的斜率鱼上。willdiscusshowtoconstructanauxiliaryfunctiontOpr

4、oveLa—所以，要证明拉格朗日中值定理，就是要证明至少存在grangeMeanValueTheoremandCauchyMeanValueTheorem．一点(a，b)，使得点处的导数／．()等于这个弦函数的Inaddition．thepaperalsogivesanothermethodtoprovethedif_ferentialmeanvaluetIleorem：Lemmamethod．导数。KeywordsLagrangeMeanValueTheorem；CauchyMeanValue为此，要证明至少存在一

5、点∈(口，b)，使得函数)与Theorem；RolleTheorem；auxiliaryfunction弦函数之差F()-f()一。)+(一n)]在点处的导数等于0，即F’(孝)_0。一般高等数学的教材。都是用罗尔定理去证明拉格朗由罗尔定理知，只要)满足罗尔定理的三个条件即可。日中值定理和柯西中值定理。以罗尔定理为基础，通过引进于是，构造辅助函数适当满足罗尔定理的辅助函数便能证明拉格朗Et中值定理和柯西中值定理。辅助函数是转化问题的一种重要手段，本r(x)(⋯)]c文将讨论如何构造辅助函数去证明拉格朗日中值定理和柯显

6、然，满足F()在闭区问a，6]上连续，在开区间(a，b)西中值定理。内可导，且o)=b)。先回顾一下罗尔定理。因此，由罗尔定理知，至少存在一点(a，b)，使得F罗尔定理：设函数)在闭区间，6]上连续，在开区间()一=0卿D0。(atb)内可导，且_厂(o)-厂(6)，则在该区间内至少存在一点亭—n一拉格朗日中值定理得证。‘(a

7、发令二：k，则只要能证明在开区间(。，6)内至少拉格朗日中值定理：设函数)在闭区间a，6]上连续，在开区间a，b)内可导，则在该区间内至少存在一点(o《<存在一点∈(o，b)，使得f’()=即可。6)，使得_，，()：。由：k知6)一kb-f(0)一k。。注意到该等式的0一“38总第294期敏又f‘Tota1．2942014年10月mTheScienceEducationArticleCollectsOctober2014(C)两边分别是函数)-厂()一kx在点b和a点处的函数值。显然，函数F(x)满足在闭区间，6】

8、上连续，在开区间于是，构造辅助函数F(x)：厂()一kx．(a，b)内可导，且n)=b)。显然，函数F(x)满足在闭区间[a，6]上连续，在开区间因此，由罗尔定理知，至少存在一点∈(a，b)，使得F’(a，b)内可导，且n)=b)．()=O，OPf’()=：()。因此，由罗尔定理知，至少存在一点(a，b)，使得F。下面用定理1证明拉格朗日中值定