矩阵等价与向量组等价的关系.doc

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1、矩阵等价与向量组等价的关系向量组等价和可以相互线性表示.记作：矩阵等价（必须含有相同的行数m，相同的列数n，即必为同型矩阵）矩阵的等价与向量组的等价没有任何必然的联系！如果两个n维向量组等价(说明矩阵有相同的行数),则以它们为列向量组成的矩阵A,B的秩相等,但是不一定等价,因为这两个矩阵的列数可能不同.比如,一个3行1列的矩阵与一个3行2列的矩阵根本谈不上等价与不等价.（如果A,B的列数相同,则它们等价）例如向量组I：与向量组II：等价，但变为矩阵就不等价。两向量组等价是指两向量组可以互相线性表示，应注意两向量组等价他们所含向量个数可以不一样的！！！但矩阵等价，两矩阵必定具有

2、相同的行数与列数！！！如果矩阵A,B等价,则它们的行向量组与列向量组也未必等价.比如,4阶单位矩阵从中间划一竖线分成两个矩阵A,B,这两个矩阵是等价的,但是它们的列向量组不是等价的.看一个具体的例子：矩阵经初等行变换化为矩阵，矩阵行等价，的行向量组等价，但列向量组不等价！矩阵B经初等列变换化为矩阵C，矩阵列等价，的列向量组等价，但行向量组不等价！矩阵经初等变换（包含行变换和列变换）化为矩阵C，矩阵A,C等价，但他们的行、列向量组均不等价！所以，矩阵进行初等行变换后，其列向量组不一定等价！矩阵进行初等列变换后，其行向量组不一定等价！显然，两矩阵等价，不能推出他们的行向量组一定等

3、价或者列向量组一定等价。在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？若矩阵A经初等列变换成为矩阵B，即存在可逆矩阵Q，使AQ=B，也可以写为    （α1，α2，…，αn）Q=（β1，β2，…，βn），此时可知B的列向量组可以由A的列向量组线性表示，因为Q为初等矩阵的乘积，所以可逆，对AQ=B两边右乘Q-1，有A=BQ-1，故A的列向量组可以由B的列向量组线性表示。此时可得A的列向量组与B的列向量组等价。同理可知：若矩阵A经初等行变换成为矩阵B，则A的行向量组与B的行向量组等价。在什么情况下向量组等价其对应的矩阵也等价呢？若m维向量组A与向量组B均有n个列（行）向量，且两

4、个向量组等价，则这两个向量组所作成的矩阵A与B等价！（因向量组A与向量组B等价，所以它们有相同的秩，则以它们为列（行）向量组成的矩阵A,B的秩相等，因向量组A与B作成的矩阵A与B有相同的行与列，且秩相等，故矩阵A与B等价），要求两个向量组有相同个数的向量，是因为矩阵等价的首要条件是两矩阵具有相同的行数与列数，故只有对于均有n个向量的两个m维向量组A与B，才有可能讨论其对应的矩阵A与B是否等价。