2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式练习.docx

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1、一二维形式的柯西不等式,　　　　　　　　[学生用书P42])[A　基础达标]1．二维形式的柯西不等式可用下列式子表示的为(　　)A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R)C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)解析：选C.二维形式的柯西不等式为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.故选C.2．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为(　　)A．4　　B．2C．1D．

2、解析：选A.≥＝4，故选A.3．函数y＝＋2的最大值是(　　)A．　　B．C．3D．5解析：选B.设m＝(，)，n＝(1，2)，则m·n＝＋2≤

3、m

4、

5、n

6、＝·＝，当且仅当＝2，即x＝时等号成立．4．已知＋＝2，x，y∈R＋，则x＋y的最小值是(　　)A．B．C．D．5解析：选A.因为x＋y＝(x＋y)≥·＝×(2＋3)2＝，即(x＋y)min＝.5．已知a＋b＝1，则以下成立的是(　　)A．a2＋b2＞1B．a2＋b2＝1C．a2＋b2＜1D．a2b2＝1解析：选B.由柯西不等式，得1＝a＋b≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1

7、，当且仅当＝时，上式取等号，所以ab＝，即a2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是a2＋b2＝1.6．函数y＝＋的最大值是________．解析：因为(＋)2≤(1＋1)(x－1＋5－x)＝8，当且仅当＝，即x＝3时，等号成立，所以＋≤2，函数y取得最大值2.答案：27．已知x，y，a，b均为实数，且满足x2＋y2＝4，a2＋b2＝9，则ax＋by的最大值m与最小值n的乘积mn＝________．解析：因为a2＋b2＝9，x2＋y2＝4，由柯西不等式(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，得36≥(ax＋by)2，当且仅当ay＝bx时取

8、等号，所以ax＋by的最大值为6，最小值为－6，即m＝6，n＝－6，所以mn＝－36.答案：－368．若函数y＝a＋的最大值为2，则正数a的值为________．解析：(a＋)2＝≤(a2＋4)＝(a2＋4)，由已知得(a2＋4)＝20，解得a＝±2.又因为a＞0，所以a＝2.答案：29．已知m＞0，n＞0，m＋n＝p，求证：＋≥，指出等号成立的条件．解：根据柯西不等式，得(m＋n)≥＝4.于是＋≥＝.当m＝n＝时等号成立．10．已知a＞0，b＞0，且a2＋b2＝，若a＋b≤m恒成立，求m的最小值．解：因为a＞0，b＞0，且a2＋b2＝，所以9

9、＝(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2.所以a＋b≤3.又因为a＋b≤m恒成立，所以m≥3.[B　能力提升]1．设x，y∈R＋，且x＋2y＝36，则＋的最小值为________．解析：因为x>0，y>0，且x＋2y＝36，所以＋＝×(x＋2y)＝[()2＋()2]≥＝，当且仅当·＝·，即x＝y时，等号成立．由解得，所以当x＝y＝12时，＝.答案：2．函数f(x)＝－的最大值是________．解析：f(x)＝－.令a＝(x－4，2)，b＝(x－3，1)，则f(x)＝

10、a

11、－

12、b

13、≤

14、a－b

15、＝＝.当且仅当a∥b，即2x－6＝x－4，x＝2

16、时，等号成立．所以f(x)max＝f(2)＝.答案：3．已知：p，q∈R＋，且p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2.证明：设m＝(p，q)，n＝(p，q)，则p2＋q2＝pp＋qq＝

17、m·n

18、≤

19、m

20、·

21、n

22、＝·＝.又(p＋q)2≤2(p2＋q2)．所以≤p2＋q2≤，所以≤，所以(p＋q)4≤8(p＋q)，(p＋q)3≤8，所以p＋q≤2.4．已知函数f(x)＝

23、x－4

24、.(1)若f(x)≤2，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，求g(x)＝2＋的最大值．解：(1)由已知得，

25、x－4

26、≤2，即－2≤x－4≤2，即2≤x≤6，即x的取值范围为[

27、2，6]．(2)由2≤x≤6可得g(x)＝2＋，由柯西不等式，得g(x)≤＝2.当且仅当＝，即x＝时，g(x)的最大值为2.