2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式学案.docx

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1、二　一般形式的柯西不等式　1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式．2．会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值等问题．,　　　　　　　　[学生用书P43])1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3

2、，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二维形式的柯西不等式是一般形式的柯西不等式的特殊情况．(　　)(2)三维形式的柯西不等式可以由空间向量的几何意义推导出来．(　　)(3)柯西不等式中的字母a，b，c，…具有轮换对称性，按照一定顺序轮换，式子不变．(　　)(4)在应用柯西不等式时，不需要验证等号

3、成立的条件．(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．已知x，y，z＞0，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是(　　)A．1　B．C．D．3答案：B3．设a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是(　　)A．1B．C．3D．9答案：B4．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．解析：由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12，当a＝2b＝3c＝2时，等号成立

4、，所以a2＋4b2＋9c2的最小值为12.答案：12　利用柯西不等式证明不等式[学生用书P44]　(1)设a，b，c为正数，求证＋＋≥a＋b＋c.(2)设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn为正实数，求证：＋＋…＋≥.【证明】　(1)(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥＝(a＋b＋c)2，即(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.因为a，b，c∈R＋，所以a＋b＋c＞0，所以＋＋≥a＋b＋c.(2)(b1＋b2＋…＋bn)≥＝(a1＋a2＋…＋an)2.因为b1，b2，…，bn为正实数，所以b

5、1＋b2＋…＋bn>0.所以＋＋…＋≥.当且仅当＝＝…＝时，等号成立．利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．　(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.　1.已知正数a，b，c，求证：≥abc.证明：构造两组数ab，bc，ca；ca，ab，bc，则由柯西不等式得·≥ab·ca＋bc·ab＋ca·bc，即b

6、2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．于是≥abc.2．已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1.求证：

7、a＋b＋c

8、≤.证明：由柯西不等式，得(a＋b＋c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)＝3.所以－≤a＋b＋c≤，所以

9、a＋b＋c

10、≤.　用三维形式柯西不等式求最值[学生用书P44]　设a，b，c为正数，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值．【解】　因为(a＋2b＋3c)≥＝(＋＋)2，所以(＋＋)2≤13×＝.所以＋＋≤，当且仅当＝＝时，等号成立．又a＋2b＋3c＝13，所以当

11、a＝9，b＝，c＝时，(＋＋)max＝.利用柯西不等式求最值的方法技巧利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题，其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果，同时要注意等号成立的条件．　　设2x＋3y＋5z＝29，求函数μ＝＋＋的最大值．解：根据柯西不等式，有(·1＋·1＋·1)2≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1)＝3×(2x＋3y＋5z＋11)＝3×40＝120.故＋＋≤2，当且仅当2x＋1＝3y＋4

12、＝5z＋6，即x＝，y＝，z＝时等号成立．此时μmax＝2.1．对柯西不等式一般形式的说明一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．2．一般形式柯西不等式成立的条件由柯西不等式的证明过程可知Δ＝0⇔f(x)min＝0⇔a1x－b1＝a2x－b2＝…＝anx－