2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式学案 (2).docx

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1、一　二维形式的柯西不等式　1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理1、定理2、定理3等几种不同形式，理解它们的几何意义．2．会用柯西不等式的代数形式和向量形式以及定理1、定理2、定理3，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值．二维形式的柯西不等式1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)·≥

2、ac＋bd

3、(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．(　　)(2)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d∈R＋，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．(　　)(3)·≥

4、ac

5、＋

6、bd

7、(当且仅当

8、ad

9、＝

10、bc

11、时，等号成立)．(　　)(4)在二维形式的柯西不等式的代数

12、形式中，取等号的条件可以是＝.(　　)(5)设α，β是两个向量，则

13、α·β

14、≤

15、α

16、

17、β

18、中等号成立的条件是存在实数k，使α＝k·β.(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×2．设a＝(－2，)，

19、b

20、＝6，则a·b的最小值为(　　)A．18　　B．6C．－18D．12解析：选C.因为

21、a·b

22、≤

23、a

24、

25、b

26、，所以

27、a·b

28、≤18，所以－18≤a·b≤18，a·b的最小值为－18，故选C.3．设a，b∈R，若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为(　　)A．B．－C．5D．－5解析：选C.由柯西不等式得(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2，所以(a＋2b)2

29、≤5×5＝25，当且仅当2a＝b时，等号成立．所以(a＋2b)max＝5.4．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．解析：根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.答案：　利用柯西不等式求最值[学生用书P40]　(1)求f(x)＝2＋的最大值．(2)若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值．【解】　(1)因为f(x)＝2＋＝×＋1×≤×＝×＝3.当且仅当×＝，即x＝0时取等号，故f(x)＝2＋的最大值是3.(2)因为3x＋4y＝2，所以x2＋y2＝(x2＋y2)(32

30、＋42)≥(3x＋4y)2＝，当且仅当时，即时“＝”成立．所以x2＋y2的最小值为.利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；　(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．　1.若a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求ax＋by的最小值．解：因为a2＋b

31、2＝1，x2＋y2＝1，由柯西不等式(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，得1≥(ax＋by)2，所以ax＋by的最小值为－1.2．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值．解：2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝.当且仅当x＝y＝时取等号．所以2x＋y的最大值为.　利用柯西不等式的代数形式证明不等式[学生用书P41]　已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)·(＋)≥(a1＋a2)2.【证明】　(a1b1＋a2b2)(＋)＝[()2＋()2][()2＋()2]≥(·＋·)2＝(a1＋a2)2.当且仅当b1＝b2时，等号成立．利用柯西不等式的代数形式证明不

32、等式的方法利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法，才能找到突破口．　已知a，b都是正实数，且ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9.证明：因为a，b都是正实数，所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b)＝[12＋()2][12＋()2]≥(1＋)2，当且仅当a＝1，b＝2时取等号．因为ab＝2，所以(1＋)2＝9，所以(1＋2a)(1＋b)≥9.　柯西不等式向量形式的应用[学生用书P41]　(1)已知θ为锐角，a，b∈R＋，求

33、证：(a＋b)2≤＋.(2)已知x∈，求函数f(x)＝3cosx＋4的最大值，并说明等号成立的条件．【解】　(1)设m＝，n＝(cosθ，sinθ)，则

34、a＋b

35、＝＝

36、m·n

37、≤

38、m

39、

40、n

41、＝·＝，所以(a＋b)2≤＋.(2)设m＝(3，4)，n＝(cosx，)，则根据柯西不等式的向量形式可得：f(x)＝3cosx＋4≤·＝5.当且仅当m∥n时上式取等号，3－4cosx＝0，而且x∈，解得sinx＝.所以当sinx＝时，f(x)＝3cosx＋4