武汉科技大学试题-线性代数2010-2011-2线性代数（本科）A卷答案.doc

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1、武汉科技大学2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设为阶矩阵，下列运算正确的是（D）。A.B.C.D.若可逆，，则；2．下列不是向量组线性无关的必要条件的是（B）。A．都不是零向量;B.中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C.中任意两个向量都不成比例;D.中任一部分组线性无关;3.设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（A）。A．列向量组线性无关；B.列向量组线性相关；C.行向量组线性无关；D.行向量组线性相关；4．如果（D），则矩

2、阵A与矩阵B相似。A.；B.；C.与有相同的特征多项式；D.阶矩阵与有相同的特征值且个特征值各不相同；5．二次型，当满足（C）时，是正定二次型．A.；B.；C.；D.。二、填空题（每小题3分，共15分）6．设，则＝；7．设为行列式中元素的代数余子式，则-1；8．=；9．已知向量组线性无关，则向量组的秩为2；10.设为阶方阵，，且，则的一个特征值-3；三、计算题（每小题10分，共50分）11．设，求。解：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分12．设三阶方阵，满足方程，

3、试求矩阵以及行列式，其中。解：由，得，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分由于，，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分，．．．．8分所以。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分13．已知，且满足，其中为单位矩阵，求矩阵。解：因为，所以可逆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由，得，故，即，．．．．4分不难求出,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8

4、分因此。．．．．．．．．．．．．．．．10分14．取何值时，线性方程组无解，有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解。解：由于方程个数等于未知量的个数，其系数行列式；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分1.当时，有，，原方程组无解；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分2.当时，有，所以原方程的通解为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分3.当时，方程组有唯一解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10

5、分15.　设，求该向量组的秩和一个极大无关组。解：．6分所以向量组的秩为2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分因为任意两个向量均不成比例，所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分四、解答题（10分）得分16．已知三阶方阵的特征值1，2，3对应的特征向量分别为，，。其中：，，，。（1）将向量用，，线性表示；（2）求，为自然数。解：（1）把用线性表示，即求解方程故。．．．．．．．．．．．．．．．．

6、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）．．．．．．．．．．10分五、证明题（每小题5分，共10分）17．设是阶方阵，且，；证明：有非零解。证明：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以有非零解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分18．已知向量组(I)的秩为3，向量组(II)的秩为3，向量组(III)的秩为4，证明向量组的秩为

7、4。证明：向量组的秩为3，向量组的秩为3，所以为向量组的一个极大无关组，因此可唯一的由线性表示；．．．．2分假设向量组的秩不为4，又因为向量组的秩为3，所以向量组的秩为3，因此也可唯一的由线性表示；．．．4分因此可唯一的由线性表示，而向量组的秩为4，即线性无关，因此不能由线性表示，矛盾，因此向量组的秩为4。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分