向量数量积定义和运算律.doc

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1、课时作业21　向量数量积的物理背景与定义　向量数量积的运算律时间：45分钟　　满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．若

2、a

3、＝3，

4、b

5、＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝(　　)A．－3B．－6C．6D．12解析：∵a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cos135°＝3×4×(－)＝－6.答案：B2．若非零向量a，b满足

10、a

11、＝

12、b

13、，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°解析：本题考查向量的夹角公式．由(2a＋b)·b＝0得2a·b＋b2＝0，从而a·b＝－，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，〈a，b〉＝120°.答案：C3．设

14、向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a⊥b，

15、a

16、＝1，

17、b

18、＝2，则

19、c

20、2等于(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．5解析：

21、c

22、2＝

23、a＋b

24、2＝

25、a

26、2＋

27、b

28、2＋2a·b＝5.答案：D4．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．0解析：∵a⊥c，∴a·c＝0.∵a∥b，∴b⊥c.∴b·c＝0.∴c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.答案：D5．如图，在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是(　　)A.∥B．(＋)⊥(＋)C．(－)·(－)＝0D.·＝·解析：A显然正确；B：＋＝，＋＝，∵菱形

29、对角线互相垂直，∴⊥.∴B正确．C：－＝，－＝，同B一样，正确．D：·＝

30、

31、

32、

33、cos∠BAD，·＝

34、

35、

36、

37、cos(π－∠BAD)＝－

38、

39、

40、

41、cos∠BAD.答案：D6．若a，b是非零向量，且a⊥b，

42、a

43、≠

44、b

45、，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是(　　)A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数解析：本题考查了向量的数量积运算及一、二次函数及其奇偶性的判断．∵f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x2＋(

46、b

47、2－

48、a

49、2)x－a·b又∵a⊥b，且

50、a

51、≠

52、b

53、，∴f(x)＝(

54、b

55、2－

56、a

57、2)x　(

58、b

59、2

60、－

61、a

62、2≠0)故f(x)为一次函数且为奇函数，选A.答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.解析：本题考查向量数积及运算性质．以{，}为基底，则·＝0，而＝＋，＝－，∴·＝(＋)·(－)＝－

63、

64、2＋

65、

66、2＝－×22＋22＝2.答案：28．已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，∴

67、a＋2b

68、＝，

69、a－2b

70、＝.∴cos120°＝＝＝＝－.∴＝.∴＝.答案：9．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝

71、8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．解析：本题考查向量的线性运算及向量的数量积．由题意，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝2－·－2，即2＝25－·－×64，解得·＝22.借助·表示出·是解决本题的关键所在．答案：22三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．已知

72、a

73、＝4，

74、b

75、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a·b的值及a与b的夹角θ.解：由(2a－3b)(2a＋b)＝61，得4

76、a

77、2－4a·b－3

78、b

79、2＝64－4a·b－27＝61.所以a·b＝－6，所以cosθ＝＝＝－，因为0≤θ≤π，所以θ＝，所以

80、a与b的夹角θ为.11．(1)已知向量a，b满足a·b＝0，

81、a

82、＝1，

83、b

84、＝2，求

85、2a－b

86、.(2)已知a，b是两个非零向量，且

87、a

88、＝

89、b

90、＝

91、a－b

92、.求a与a＋b的夹角．解：(1)∵

93、2a－b

94、2＝4a2－4a·b＋b2＝8，∴

95、2a－b

96、＝2.(2)∵

97、a

98、＝

99、a－b

100、，∴

101、a

102、2＝

103、a－b

104、2＝

105、a

106、2－2a·b＋

107、b

108、2.又

109、a

110、＝

111、b

112、，∴a·b＝

113、a

114、2，又

115、a＋b

116、＝＝＝

117、a

118、，设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝，即a与a＋b的夹角为.12．已知

119、a

120、＝4，

121、b

122、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求

123、a＋b

124、；(

125、2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4

126、a

127、2－4a·b－3

128、b

129、2＝61.∵

130、a

131、＝4，

132、b

133、＝3，∴a·b＝－6，∴

134、a＋b

135、＝＝＝.(2)∵a·(a＋b)＝

136、a

137、2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.