超松弛迭代法.doc

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1、7.3　逐次超松弛迭代法7.3.1SOR迭代公式　　逐次超松弛(SuccessiveOverRelaxation)迭代法，简称SOR迭代法，它是在GS法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法，设解方程(7.1.3)的GS法记为　　　　　　(7.3.1)再由与加权平均得　　　这里ω＞0称为松弛参数，将(7.3.1)代入则得　　　　　　　(7.3.2)称为SOR迭代法，[WTBX]ω＞0称为松弛因子，当ω=1时(7.3.2)即为GS法，将(7.3.2)写成矩阵形式，则得　　　即　　于是得SOR迭代的矩阵表示　　　　　　　(7.3.

2、3)其中　　　　　　　(7.3.4)　　　按(7.1.7)分解，有.　　例7.7　给定方程组　　　　　　　　　　　　精确解,用SOR法求解，分别取ω=1及ω=125.　　解　用　SOR迭代公式(7.3.2)可得　　　取，迭代7次后分别为　　　　　　　　若要精确到小数后7位，对ω=1(即GS法)需迭代34次，而对ω=1.25的SOR法，只需迭代14次.它表明松弛因子ω选择的好坏，对收敛速度影响很大. 7.3.2SOR迭代法收敛性　　根据迭代法收敛性定理，SOR法收敛的充分必要条件为，收敛的充分条件为，但要计算比较复杂，通常都不用此结论，而

3、直接根据方程组的系数矩阵A判断SOR迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件.　　定理3.1　设，则解方程的SOR迭代法收敛的必要条件是0＜ω＜2.　　证明　由SOR迭代矩阵的表达式(7.3.4)　　　　　于是　　另一方面，设的特征值为，由特征根性质，有　　若SOR法收敛，则，由，则得0＜ω＜2.证毕.　　定理3.2　若对称正定，且0＜ω＜2，则解Ax=b的SOR迭代法(7.3.3)对迭代收敛.　　证明　设的特征值为(可能是复数)，对应特征向量x≠0,由(7.3.4)得　　　　　因为实对称矩阵，故,上式两边与x作内积，得　　　　　　　　　(7

4、.3.5)因A正定，故D也正定，记.又记，,由复内积性质得　　　　　于是由(7.3.5)有　　　　　由于A正定及0＜ω＜2，故　　　　　于是　　注：当ω=1时SOR法即为GS法，故GS法也收敛，此即为定理2.5(1)的结论.　　对于SOR迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大，关于最优松弛因子研究较为复杂，且已有不少理论结果.下面只给出一种简单且便于使用的结论　　定理3.3　设为对称正定的三对角矩阵，是解方程(7.1.3)的J法迭代矩阵，若，记，则SOR法的最优松弛因子为　　　　　　　　　　(7.3.6)且　　　　　　　　(7.3.7

5、)　　根据定理，,如图7-1所示.由(7.3.7)可知，当ω=1，时，收敛速度为　　　　　.　　说明GS法比J法快一倍.图7-1　　例7.8　对例7.7中的方程组，用SOR迭代法求最优松弛因子，并研究其收敛速度.　　解　由于　　　　　　　　　　是对称正定的三对角矩阵，SOR迭代收敛.　　　　　故，而SOR最优松弛因子　　　　　故.若要使误差，由　　　　　　　　　　　　，取k=12即可.　　例7.7中取ω=1.25已近似，故它收敛很快，实际计算时迭代14次可达到小数后7位精度.　　对ω=1的GS法，由达到与SOR法的同样精度.迭代次数，故

6、k≈34与实际计算结果相符.讲解：　　SOR迭代法只是GS法与归值的加权平均，计算公式为（7.3.2），迭代矩阵为（7.3.4），通常只是对A对称正定的方程组使用SOR法，而松弛因子ω选择较困难，一般选择对于A为对称正定的三对角阵则最好最有因子为，其中为J法的迭代矩阵。此时SOR的迭代矩阵谱半径为，注意不要具体求，更不要去计算的特征值。如例7.8中所示，求得，则，从而可以求得SOR迭代的收敛速度. 【本章小结】　　1.本章主要内容是用迭代法求解线性方程组，重点为J法，GS法和SOR迭代法，首先必须掌握各种迭代法的计算公式和迭代矩阵的表达

7、式以及迭代法收敛的充分必要条件和充分条件，并用这些理论判别方程组Ax=b的收敛性，为此　　（1）对所构造迭代法能写出具体的迭代矩阵B并利用判别方法收敛性。　　（2）对不满足充分条件的方程组或A带有参数的方程组判别收敛性通常要求迭代矩阵B的特征值及谱半径，并由＜1判别迭代法是否收敛。　　（3）要掌握与迭代法相关的向量序列及矩阵序列的收敛性结论。　　（4）利用迭代矩阵谱半径，计算迭代法渐近收敛速度,从而比较各种迭代法收敛的快慢。　　2．用J法，GS法和SOR法求解方程组Ax=b.　　（1）对给定方程组写出3种迭代法的计算公式，并能正确求出方

8、程组的解（n较大时可用计算机编程计算）。　　（2）写出J法GS法的迭代矩阵并利用迭代矩阵范数和谱半径判别其收敛性。　　（3）对这3种方法首先要直接从方程的系数矩阵A判定是否严格对角占优或不可约弱对角占优或对