2016_2017学年高中数学第3章导数应用1.2函数的极值课件北师大版.pptx

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1、§1函数的单调性与极值1.2　函数的极值课前预习学案“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”说的是庐山的高低起伏，错落有致．在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是附近的最低点．那么，在数学上，如何来刻画这种现象呢？(1)在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在________的函数值都____________的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．(2)在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在_

2、_______的函数值都____________的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．(3)________与________统称为极值，________与________统称为极值点．1．函数极值的有关概念任何一点不大于x0点任何一点不小于x0点极大值极小值极大值点极小值点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧的领域而言的．(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间

3、上的单调函数没有极值．(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，也可能没有，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．即极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大．(如图所示)(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是________，在区间(x0，b)上是________，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是________，在区间(x0，b)上是________，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．2．函数极值的判断增加的减少的减少的

4、增加的函数的导数与极值的关系：(1)对于可导函数，极值点必为导数为零的点，但反之，导数为零的点不一定是极值点，如f(x)＝x3在x＝0处导数为零，但不是极值点．(2)导数不存在的点也有可能是极值点，如f(x)＝

5、x

6、在x＝0处不可导，但该点为极值点．综合(1)(2)可得，函数的极值点只能是不可导点或导数为零的点．1．关于函数的极值，有下列说法①导数为零的点一定是极值点；②极值点的导数一定为零；③极大值一定大于极小值；④f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数；⑤f(x)在(x0－Δx，x0＋Δx)上可导且f′(x0)

7、＝0，x0左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0那么x0是极大值点；⑥f(x)在区间(x0－Δx，x0＋Δx)上可导，f′(x0)＝0，x0左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是函数的极小值．其中正确说法是()A．①③⑤B．②④⑥C．②⑤⑥D．④⑤⑥解析：根据极值的概念逐一判断可知，①②③错误，④⑤⑥正确，故选D.答案：D2．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3解析：y′＝3－3x2，令y′＝3－3x2＝0，得x＝±1，当x变化时，f′(x

8、)，f(x)的变化情况如下：x(－∞，－1)－1(－1,1)f′(x)－0＋f(x)递减极小值递增3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在x＝1处有极值为－1，则f(2)等于________．解析：由题意得f′(1)＝0，f(1)＝－1，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，即f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f(1)＝1＋a＋b＝－1，得a＝－1，b＝－1，f(2)＝8＋4a＋2b＝2.答案：2课堂互动讲义求下列函数的极值：(1)f(x)＝x4－2x2；(2)f(x)＝x2e－x.求函数的极值[边听边记](1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝4

9、x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1或x＝1.列表：x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－0＋f(x)极小值极大值极小值求可导函数y＝f(x)极值点的步骤：(1)确定函数的定义域．(2)求出导数f′(x)．(3)解方程f′(x)＝0.(4)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点．①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为

10、极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0.求a、b的值．[思路导引