控制系统的数学描述与建模.ppt

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1、第二章控制系统的数学描述控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。控制系统的数学描述通常分为两类:一种是时间域描述，主要用微分方程和状态方程来描述；另一种是频率域描述，利用拉氏变换来描述控制系统。它们的共同基础是微分方程。在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函数模型（系统的外部模型）、状态

2、方程模型（系统的内部模型）、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。1、线性连续系统：用线性微分方程式来描述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。3、非线性系统：系统中有一个元部件的

3、输入输出特性为非线性的系统。系统的分类微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函

4、数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。第一节线性定常连续系统的微分方程模型例exp3_1.m电路图如下，R=1.4欧，L=2亨，C=0.32法，初始状态：电感电流为零，电容电压为0.5V，t=0时刻接入1V的电压，求0

5、minator）num=[b1,b2,…,bm,bm+1]den=[a1,a2,…,an,an+1]注意：它们都是按s的降幂进行排列的。G(s)=tf(num,den)给出系统的传递函数第二节传递函数描述一、连续系统的传递函数模型连续系统的传递函数如下：零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即：z=[z1,z2,…,zm]p=[p1,p2,...,

6、pn]K=[k]函数zpk(z,p,k)可以求出系统的零极点模型函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。二、零极点增益模型K为系统增益，zi为零点，pj为极点控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。部分分式展开就是将高阶的有理分式化为若干个一阶有理分式之和的形式。如果传递函数G(s)不包含多重极点，则G(s)展开后为三、部分分式展开式中K为常数项，对于真分式来说K=0。R是各阶分式的系数，p系统的极点。对上式求拉氏逆变换，可得到系统的冲击响应如

7、果求解系统在输入函数u(s)下的时间响应，只须对G(s)*u(s)进行部分分式展开并求拉氏逆变换即可。函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微分单元的形式。向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，系数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k。[b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。举例：传递函数描述1）》num=[12,24,0,20];den=[24622];tf(num,den)

8、Transferfunction:12s^3+24s^2+20-------------------------------2s^4+4s^3+6s^2+2s+22）借助多项式乘法函数conv来处理：》num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));》den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));零极点增益模型：》nu