3控制系统的数学描述与建模

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1、CH3、控制系统的数学描述与建模控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模型）、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。1、线性连续系统：用线性微分方程

2、式来描述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。第一节系统的分类微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。通过拉氏变换

3、和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。第二节线性定常连续系统的微分方程模型Ode23()和ode45()函数分别采用了二阶三级的RKF方法和四阶五级的RKF方法，并采用自适应变步长的求解方法。[t,x]=ode23(方程函数名，tspan，x0，选项，附加参数)[t,x]=ode45(方程函数名，tspan，x0，选项，附加参数)tspan——仿真范围，例如取[t0,tf]，其中t0和tf分别

4、为用户指定的起始和终止计算时间。x0——系统的初始状态变量的值，应该使该向量的元素个数等于系统状态变量的个数。t——求解的时间变量，因为采用了变步长的时间算法，所以得出的t向量并不一定是等间隔的。x——状态变量在各个时刻所组成的列向量所构成的矩阵的转置。有了t和x，在求解过程结束后即可以用plot（t,x）来绘制出解的结果曲线。方程函数名的编写格式是固定的：functionxdot=方程函数名(t,x,flag,附加参数)t——时间变量。x——方程的状态变量。xdot——状态变量的导数。例：假设Lorenz模型的状态方程表示为求取各状态变量的值。令初值为x1(0)=x2(0)=0,x3(0)=

5、ε,ε为机器上可以识别的小常数，例如取ε=10^-10，则可编写函数lorenzeq.m来描述系统的动态模型：functionxdot=lorenzeq(t,x)xdot=[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];调用微分方程数值解ode45()函数对lorenzeq()函数描述的系统进行数值求解，并将结果进行图形显示。>>t_final=100;x0=[0;0;1e-10];[t,x]=ode45(‘lorenzeq’,[0,t_final],x0);plot(t,x);figure;plot3(x(:,1)

6、,x(:,2),x(:,3));axis([1040-2020-2020]);例exp3_1.m电路图如下，R=1.4欧，L=2亨，C=0.32法，初始状态：电感电流为零，电容电压为0.5V，t=0时刻接入1V的电压，求0

7、211)plot(t,x(:,1))title('capacitorvoltage')xlabel('time-sec')subplot(212)plot(t,x(:,2))title('currentofL')xlabel('time-sec')figure(2)vc=x(:,1);i=x(:,2);plot(vc,i);title('currentversuscapacitor…voltage