由数列递推公式求其通项公式历来是高考的重点和热点题型.docx

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1、由数列递推公式求其通项公式历来是高考的重点和热点题型，自然成为师生研究的重点，各种求解方法也多见于各种杂志和书籍，但仍没摆脱“类型+方法”的桎梏，致使学生面对具体问题仍束手无策．那么，在新课程全面实施，数学课程应该返璞归真，淡化问题类型，注重解决问题最本质的方法的今天，本类问题的求解思路是什么？哪些方法是通法？ 一、迭代法与累加法、累乘法是最基本的方法，是通法之一 例1   已知数列{an}中，a>0，且，求{an}的通项公式解法1（迭代法）∵∴∴==…=2n-1从而，{an}的通项公式an=a2n-1解法2（累乘法）∵∴．（n=2,3……）∴an= · · ·…·a=．· ·…

2、·2n-2· =1+2+4+…+2n-2· = a2n-1例2 已知数列{an}中，an+1=kan+f(n)（其中k≠0，k≠1），求数列{an}的通项公式．解 方法1（迭代法）∵an+1=kan+f(n)，∴an=kan-1+f(n－1)  =k[kan-2+f(n－2)]+f(n－1)=k2an-2+kf(n－2)+f(n－1)=k2[kan-3+f(n－3)]+kf(n－2)+f(n－1)=k3an-3+k2f(n－3)+kf(n－2)+f(n－1)=…  =kn-1a1+kn-2f(1)+kn-3f(2)+…+kf(n－2)+f(n－1)方法2（累加法）∵an+1=ka

3、n+f(n)，∴an=kan-1+f(n－1)，∴an－kan-1=f(n－1)，kan-1－k2an-2=kf(n－2)，k2an-2－k3an-3=k2f(n－3)，…kn-3a3－kn-2a2=kn-3f(2)，kn-2a2－kn-1a1=kn-2f(1)．故an=kn-1a1+kn-2f(1)+kn-3f(2)+…kf(n－2)+f(n－1)点评 事实上，等差或等比数列的通项公式均可用上述三种方法推证得到，这也是三种方法的教材背景．它们的求解过程就是把递推关系式像“链条”一样，按n,n－1,n－2……，3,2,1，把an逐次“拉开”，层层迭代．这种方法我们称为迭代法．这种

4、解题方法的基础是递推的思想方法．《普通高中数学课程标准》第85页指出：“迭代法是解决问题的数学方法之一，应使学生结合具体问题去体会迭代法的意义．至此，形如an+1=an+f(n)的数列，可用迭代法、累加法求通项；形如an+1=an·f(n)的数列，也可用迭代法、累乘法求通项．二、转换与化归的思想方法是高考考查重点，也是递推数列求通项公式的通法之二例3 设p、q为实数，α、β是方程x2－px+q=0的两个实根，数列{xn}满足x1=p，x2=p2－q，xn=pxn-1－qxn-2 (n=3,4,…)（1）证明：α+β=p，αβ=q；（2）求数列{xn}的通项公式解（1）易知α+β=

5、p，αβ=q；（2）从而xn=pxn-1－qxn-2可写成xn=(α+β)xn-1－αβxn-2  (n=3,4,…)                ①∴xn－αxn-1=β(xn-1－αxn-2)   (n=3,4,…)   ②令yn=xn－αxn-1             (n=2,3,…)，则由②得yn=βyn-1  (n=3,4,…)                                         ③又y2=x2－αx1=p2－q－αp=β2，∴数列{yn}是以y2=β2为首项，β为公比的等比数列，∴yn=y2·βn-2 =β2·βn-2=βn (n≥3

6、).故当n≥3时，xn=αxn-1+yn=αxn-1+βn                                    ④=α(αxn-2+βn-1)+βn=α2xn-2+αβn-1+βn  =…=αn-2x2+(αn-3β3+αn-4β4 +…+αβn-1+βn).而x1=α+β，x2=(α+β)2－αβ=α2+αβ+β2，所以，当n≥3时，xn=αn+αn-1β+αn-2β2+…+αβn-1+βn，故当n≥1时，都有xn=αn+αn-1β+αn-2β2+…+αβn-1+βn，故xn=    (α≠β)        (n+1)βn  (α=β)点评 本解法经历了以下

7、几个转化：通过拆分①式转化为②，运用换元②转化为③，求得yn又转化为④，运用④式用迭代法通过等比数列求和，求得数列{xn}的通项公式，从中可以领会和揣摸命题人的真正意图是以数列知识为载体，考查学生的化归能力，即用最基本的等比数列知识解决复杂的数列问题．可能，老师们会问：学生想不到由①转化为②式，更看不出②式表明数列{xn－axn-1}是等比数列？笔者认为数列教学中培养学生向等差、等比数列转化的强烈的目标意识以及进行“类似结构”的训练是解决该问题行之有效的办法．如，与等比数列递推关