全国高中数学联合竞赛试题及参考答案.doc

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1、全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一、(满分50分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC.解析：连结BD交AC于H．对△BCD用塞瓦定理，可得　　因为AH是∠BAD的平分线，由角平分线定理，可得．　　故．　　过点C作AB的平行线AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J．则.所以，　　从而，CI=CJ.　　又因为CI∥AB，CJ∥AD，故∠ACI=π-∠ABC=π-∠DAC=∠ACJ．　　因此，△ACI≌△ACJ．　　从而，∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC

2、．二、(满分50分)给定实数a,b,c，已知复数z1,z2,z3满足：，求

3、az1+bz2+cz3

4、的值。解析：记eiθ=cosθ+isinθ．可设，，则．　　由题设，有eiθ+eiφ+e-i(θ+φ)=1.φ　　两边取虚部，有　　0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ)　　　故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ，k∈Z．　　因而，z1=z2或z2=z3或z3=z1．　　如果z1=z2，代入原式即．故．　　这时，

5、az1+bz2+cz3

6、=

7、z1

8、

9、a+b±ci

10、　　　　　=．　　类似地，如果z2=z3,则

11、az1+bz2+cz3

12、=;如果z3=z1,则

13、az1+bz

14、2+cz3

15、=．　　所以，

16、az1+bz2+cz3

17、的值为　或　或．三、(满分50分)给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。解析：(1)设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,…,ak，且1≤a1≤a2≤…≤ak，ai∈Z，1≤i≤k．因为天平两端都可以放砝码，故可称质量为xiai,xi∈｛-1，0，1｝．若利用这k块砝码可以称出质量为1，2，3，…,n的物品，则上述表示式中含有1，2，…，n，由对称

18、性易知也含有0，-1，-2，…，-n，即　　｛xiai

19、xi∈｛-1，0，1｝｝｛0,±1，…，±n｝．　　所以，2n+1=

20、｛0，±1，…，±n｝

21、≤

22、｛xiai

23、xi∈｛-1，0，1｝｝

24、≤3k，　　即n≤　　设

25、0，1｝．　　由于n≤，因此，对一切-n≤l≤n的整数l，也有上述表示．　　综上，可知k的最小值　　f(n)=m·(

26、，f(n)块砝码的组成方式不惟一．　　Ⅱ.下面我们证明：当n=时，f(n)=m块砝码的组成方式是惟一的，即ai=3i-1(1≤i≤m)．　　若对每个-≤l≤,都有l=xiai，xi∈｛-1，0，1｝．　　即｛xiai

27、xi∈｛-1，0，1｝｝｛0,±1，…，±｝．　　注意左边集合中至多有3m个元素．故必有　　　　｛xiai

28、xi∈｛-1，0，1｝｝=｛0,±1，…，±｝．从而，对每个l，-≤l≤,都可以惟一地表示为　　　　　　　　l=xiai，其中xi∈｛-1,0,1｝．因而，ai=．则　　　　(xi+1)ai=xiai+ai=xiai+．　　令yi=xi+1,则yi∈｛

29、0，1，2｝．　　由上可知，对每个0≤l≤3m-1，都可以惟一地表示为　　　　l=yiai，其中yi∈｛0，1，2｝．　　特别地，易知1≤a1

30、yi∈｛0,1,2｝｝中最小的数，因此，ap+1=3p．　　由归纳法